相似三角形性质与判定专项练习30题

相似三角形性质和判定专项练习相似三角形性质和判定专项练习 3030 题（有答案）题（有答案） 1．已知：如图，在△ ABC 中，点 D 在边 BC 上，且∠ BAC=∠ DAG，∠ CDG=∠ BAD． （1）求证：=； （2）当 GC⊥BC 时，求证：∠ BAC=90°． 2．如图，已知在△ ABC 中，∠ ACB=90°，点 D 在边 BC 上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F 分别是垂足． （1）求证：AC2=AF•AD； （2）联结 EF，求证：AE•DB=AD•EF． 3．如图，△ ABC 中，PC 平分∠ ACB，PB=PC． （1）求证：△ APC∽ △ ACB； （2）若 AP=2，PC=6，求 AC 的长． 第1页 共 27 页 4．如图，在平行四边形ABCD 中，过 B 作 BE⊥CD，垂足为点 E，连接 AE，F 为 AE 上一点，且∠ BFE=∠ C． （1）求证：△ ABF∽ △ EAD； （2）若 AB=4，∠ BAE=30°，求 AE 的长． 5．已知：如图，△ ABC 中，∠ ABC=2∠ C，BD 平分∠ ABC． 求证：AB•BC=AC•CD． 6．已知△ ABC，∠ ACB=90°，AC=BC，点 E、F 在 AB 上，∠ ECF=45°，设△ ABC 的面积为 S，说明 AF•BE=2S 的理由． 第2页 共 27 页 7．等边三角形 ABC 的边长为 6，在 AC，BC 边上各取一点 E，F，连接 AF，BE 相交于点 P． （1）若 AE=CF； ①求证：AF=BE，并求∠ APB 的度数； ②若 AE=2，试求 AP•AF 的值； （2）若 AF=BE，当点 E 从点 A 运动到点 C 时，试求点 P 经过的路径长． 8．如图所示，AD，BE 是钝角△ ABC 的边 BC，AC 上的高，求证：=． 9．已知：如图，在△ ABC 中，AB=AC，DE∥ BC，点 F 在边 AC 上，DF 与 BE 相交于点 G，且∠ EDF=∠ ABE． 求证： （1）△ DEF∽ △ BDE； （2）DG•DF=DB•EF． 第3页 共 27 页 10．如图，△ ABC、△ DEF 都是等边三角形，点 D 为 AB 的中点，E 在 BC 上运动，DF 和 EF 分别交 AC 于 G、H 两点，BC=2，问 E 在何处时 CH 的长度最大？ 11．如图，AB 和 CD 交于点 O，当∠ A=∠ C 时，求证：OA•OB=OC•OD． 12．如图，已知等边三角形 △ AEC，以AC 为对角线做正方形 ABCD（点 B 在△ AEC 内，点D 在△ AEC 外） ．连接 EB，过 E 作 EF⊥AB，交 AB 的延长线为 F． （1）猜测直线 BE 和直线 AC 的位置关系，并证明你的猜想． （2）证明：△ BEF∽ △ ABC，并求出相似比． 13．已知：如图，△ ABC 中，点 D、E 是边 AB 上的点，CD 平分∠ ECB，且 BC2=BD•BA． （1）求证：△ CED∽ △ ACD； （2）求证：． 第4页 共 27 页 14．如图，△ ABC 中，点D、E 分别在 BC 和 AC 边上，点G 是 BE 边上一点，且∠ BAD=∠ BGD=∠ C，联结 AG． （1）求证：BD•BC=BG•BE； （2）求证：∠ BGA=∠ BAC． 15．已知：如图，在 △ ABC 中，点D 是 BC 中点，点E 是 AC 中点，且AD⊥BC，BE⊥AC，BE，AD 相交于点 G， 过点 B 作 BF∥ AC 交 AD 的延长线于点 F，DF=6． （1）求 AE 的长； （2）求的值． 16．如图，△ ABC 中，∠ ACB=90°，D 是 AB 上一点，M 是 CD 中点，且∠ AMD=∠ BMD，AP∥ CD 交 BC 延长线 于 P 点，延长 BM 交 PA于 N 点，且 PN=AN． （1）求证：MN=MA； （2）求证：∠ CDA=2∠ ACD． 第5页 共 27 页 17．已知：如图，在 △ ABC 中，已知点D 在 BC 上，联结AD，使得∠ CAD=∠ B，DC=3 且 S△ ACD：S△ ADB﹦1﹕2． （1）求 AC 的值； （2）若将△ ADC 沿着直线 AD 翻折，使点 C 落点 E 处，AE 交边 BC 于点 F，且 AB∥ DE，求的值． 18．在△ ABC 中，D 是 BC 的中点，且 AD=AC，DE⊥BC，与 AB 相交于点 E，EC 与 AD 相交于点 F． （1）求证：△ ABC∽ △ FCD； （2）若 DE=3，BC=8，求△ FCD 的面积． 19．如图，△ ABC 为等边三角形，D 为 BC 边上一点，以 AD 为边作∠ ADE=60°，DE 与△ ABC 的外角平分线 CE 交于点 E． （1）求证：∠ BAD=∠ FDE； （2）设 DE 与 AC 相交于点 G，连接 AE，若 AB=6，AE=5 时，求线段 AG 的长． 第6页 共 27 页 20．如图所示，△ ABC 中，∠ B=90°，点P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 以 1cm/s 的速度移动，点Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动． （1）如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，经几秒，使△ PBQ 的面积等于 8cm2？ （2）如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，并且 P 到 B 后又继续在 BC 边上前进，Q 到 C 后又继续在 CA 边上前进， 经过几秒，使△ PCQ 的面积等于 12.6cm2？ 21．已知：如图，△ ABC 是等边三角形，D 是 AB 边上的点，将DB 绕点 D 顺时针旋转 60°得到线段 DE，延长ED 交 AC 于点 F，连接 DC、AE． （1）求证：△ ADE≌ △ DFC； （2）过点 E 作 EH∥ DC 交 DB 于点 G，交 BC 于点 H，连接 AH．求∠ AHE 的度数； （3）若 BG= ，CH=2，求 BC 的长． 22．如图，在△ ABC 中，CD 平分∠ ACB，BE∥ BC 交 AC 于点 E． （1）求证：AE•BC=AC•CE； （2）若 S△ ADE：S△ CDE=4：3.5，BC=15，求 CE 的长． 第7页 共 27 页 23．如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠ DAB，∠ ADC=∠ ACB=90°，E 为 AB 的中点， （1）求证：AC2=AB•AD； （2）求证：CE∥ AD； （3）若 AD=4，AB=6，求的值． 24．在△ ABC 中，∠ CAB=90°，AD⊥BC 于点 D，点 E 为 AB 的中点，EC 与 AD 交于点 G，点 F 在 BC 上． （1）如图 1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD． （2）如图 2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求 EF：EG 的值． 25．如图，M、N、P 分别为△ ABC 三边 AB、BC、CA 的中点，BP 与 MN、AN 分别交于 E、F． （1）求证：BF=2FP； （2）设△ ABC 的面积为 S，求△ NEF 的面积． 第8页 共 27 页 26．在Rt△ AB