微积分发展简史

WORD 格式-专业学习资料-可编辑 微积分发展简史 一． 微积分思想萌芽 微积分的思想萌芽， 部分可以追溯到古代。 在古代希腊、 中国和印度数学家的著作中， 已不乏用朴素的极限思想，即无穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子。 在中国，公元前5 世纪，战国时期名家的代表作《庄子 ?天下篇》中记载了惠施的一段话： “ 一尺之棰， 日取其半， 万世不竭“， 是我国较早出现的极限思想。 但把极限思想运用于实践， 即利用极限思想解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽。 他的“割圆术“开创了圆周 率研究的新纪元。刘徽首先考虑圆内接正六边形面积 ，接着是正十二边形面积 ，然后依次 加倍边数，则正多边形面积愈来愈接近圆面积。 用他的话说， 就是：“割之弥细，所失弥少。 割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。“按照这种思想，他从圆的内接正六 边形面积一直算到内接正192 边形面积，得到圆周率 的近似值 3.14。大约两个世纪之后， 南北朝时期的著名科学家祖冲之（公元 429-500 年）祖 恒父子推进和发展了刘徽的数学思 想，首先算出了圆周率 介于 3.1415926 与 3.1415927 之间，这是我国古代最伟大的成就之 一。其次明确提出了下面的原理：“幂势既同，则积不容异。“我们称之为“祖氏原理“，即西 方所谓的“卡瓦列利原理“。并应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题。 欧洲古希腊时期也有极限思想， 并用极限方法解决了许多实际问题。 较为重要的当数安提芬 (Antiphon,B.C420 年左右)的“穷竭法“。他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的 面积穷竭圆面积，从而求出圆面积。 但他的方法并没有被数学家们所接受。 后来，安提芬的 穷竭法在欧多克斯(Eudoxus,B.C409-B.C356)那里得到补充和完善。之后，阿基米德 (Archimedes,B.C287-B.C212)借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。他 的方法通常被称为“平衡法“，实质上是一种原始的积分法。他将需要求积的量分成许多微小 单元， 再利用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较。 但他的两组微小单元的比较是借 助于力学上的杠杆平衡原理来实现的。 平衡法体现了近代积分法的基本思想， 是定积分概念 的雏形。 与积分学相比， 微分学研究的例子相对少多了。 刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的 切线、 求瞬时变化率以及求函数的极大值极小值等问题。 阿基米德、 阿波罗尼奥斯(Apollonius, c.BC262-c.BC190)等均曾作过尝试，但他们都是基于静态的观点。古代与中世纪的中国学者 在天文历法研究中也曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、 极小值问题， 但多以惯用 的数值手段（即有限差分计算）来处理，从而回避了连续变化率。 二． 十七世纪微积分的酝酿 微积分思想真正的迅速发展与成熟是在 16 世纪以后。1400 年至 1600 年的欧洲文艺复兴， 使得整个欧洲全面觉醒。一方面，社会生产力迅速提高， 科学和技术得到迅猛发展；另一方 面，社会需求的急需增长，也为科学研究提出了大量的问题。 这一时期，对运动与变化的研 究已变成自然科学的中心问题， 以常量为主要研究对象的古典数学已不能满足要求， 科学家 们开始由对以常量为主要研究对象的研究转移到以变量为主要研究对象的研究上来， 自然科 学开始迈入综合与突破的阶段。 微积分的创立， 首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。 有四种主要类型的科学 问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式， 求物体在任意时刻的速度 和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急； 第二类是， 望远镜的光程设计使得求曲线 的切线问题变得不可回避； 第三类是， 确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最 近距离等涉及的函数极大值、 极小值问题也急待解决； 第四类问题是求行星沿轨道运动的路 资料分享 WORD 格式-专业学习资料-可编辑 程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等 微积分基本问题的计算被重新研究。在17 世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求 解决这些问题的数学工具。 这里我们只简单介绍在微积分酝酿阶段最具代表性的几位科学大 师的工作。 开普勒(J.Kepler,1571-1630)与无限小元法。德国天文学家、数学家开普勒在 1615 年发表的 《测量酒桶的新立体几何》 中，论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法。 他的无限小 元法的要旨是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积， 如他认为 球的体积是无数个顶点在球心底面在球上的小圆锥的体积的和。 卡瓦列里(B.Cavalieri,1598-1647)与不可分量法。意大利数学家卡瓦列里在其著作《用新方法 推进的连续的不可分量的几何学》 (1635)中系统地发展了不可分量法。 他认为点运动形成线， 线运动形成面，体则是由无穷多个平行平面组成， 并分别把这些元素叫做线、 面和体的不可 分量。他建立了一条关于这些不可分量的一般原理 （后称卡瓦列里原理， 既是我国的祖原 理） ：如果在等高处的横截面有相同的面积，两个有同高的立体有相同的体积。利用这个原 理他建立了等价于下列积分： 的基本结果，并解决了开普勒的旋转体体积的问题。 巴罗(I.Barrow,1630-1677)与“微分三角形“。巴罗是英国的数学家，在1669 年出版的著作《几 何讲义》中，他利用微分三角形（也称特征三角形）求出了曲线的斜率。他的方法的实质是 把切线看作割线的极限位置， 并利用忽略高阶无限小来取极限。 巴罗是牛顿的老师，英国剑 桥大学的第一任“卢卡斯数学教授“，也是英国皇家学会的首批会员。 当他发现和认识到牛顿 的杰出才能时，便于 1669 年辞去卢卡斯教授的职位，举荐自己的学生-当时才 27 岁的牛顿 来担任。巴罗让贤已成为科学史上的佳话。 笛卡儿(R. Descartes,1596-1650)、费马(P. de Fermat,1601-1665)和坐标方法。笛卡儿和费马是 将坐标方法引进微分学问题研究的前锋。笛卡儿在《几何学》中提出的求切线的 “圆法“以及 费马手稿中给出的求极大值与极小值的方法， 实质上都是代数的方法。 代数方法对推动微积 分的早期发展起了很大的作用，牛顿就是以笛卡儿的圆法为起点而踏上微积分的研究道路。 沃利斯(J. Wallis,1616-1703)的“无穷算术“。沃利斯是在牛顿和莱布尼茨之前，将分析方法引 入微积分贡献最突出的数学家。在其著作《无穷算术》中，他利用算术不可分量方法获得了 一系列重要结果。 其中就有将卡瓦列里的幂函数积分公式推广到分数幂情形， 以及计算四分 之一圆的面积等。 17 世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近，但所有这些努 力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生。 前驱者对于求解各类微积分问题确实做出 了宝贵的贡献， 但他们的方法仍缺乏足够的一般性。 虽然有人注意到这些问题之间的某些联 系， 但没有人将这些联系作为一般规律明确提出来， 作为微积分基