测量中圆形地物的位置和大小的平差计算丝路视野

测量中圆形地物的位置和大小的平差计算及精度评定 桑志伟 （中铁二十三局集团第一工程有限公司，山东日照，276826） 摘摘要：要：研究了圆形建筑物的位置和大小的平差计算及其精度评定。基于圆的方程公式，对于 某圆形建筑物所采集的数据点，将圆的方程公式通过泰勒级数展开并取至一次项，转换成附有 参数的条件平差的函数模型，进行了两次平差计算。计算的结果表明，虽然两次平差结果的偏 差不大，但是第二次平差的精度要远远大于第一次平差的精度。 关键词：关键词：圆形地物；附有参数的条件平差；二次平差；精度 在地形测量中，经常需要进行圆形地物的测量，如圆形的花坛、水池、散热塔 等。在地籍测量中，也经常需要进行圆形建筑物、构筑物的测量，如楼房、地块、 道路等。采用传统方式测量这些地物，一般不进行平差计算，从而其位置和大小往 往误差较大，精度不高。本文中，针对这种情况，作者对圆形地物的位置和大小进 行了二次平差计算，并进行了精度评定，得出了有益的结论。 1 平差的数学模型 1.1 圆方程的平差函数模型 对于一个圆，其方程 ˆ)2 r ˆ a ˆ b ˆ) 2(Yˆ2 0（1）(X ˆ ）为圆心坐标的平差值，r ˆ 、Y ˆ 为观测值的平差值，ˆ为ˆ，b在式（1）中，X（a 圆半径的平差值。 在观测值（X，Y）处，将式（1）依泰勒级数展开，并取至一次项，则 (X  a0)V X  (Y b0)V Y  (a0 X) a  (b0Y) b  r0 r 2 1 (X  a0)2 (Y b0)2 r0 0 2 （2） 若观测了 n 个点（Xi，Yi） （i=1,2,…,n） ，代入式（2） ，则有方程组 (X 1 a0)V X 1 (Y 1 b0)V Y 1 (a0 X 1 ) a  (b0Y 1 ) b r0 r  1 (X  a0)2(Y b0)2 r02 0 11  2  00000 (X 2  a )V X 2 (Y 2 b )V Y 2  (a  X 2 ) a  (b Y 2 ) b  r r  1 020202(X a )  (Y b )  r 0（3）  22 2    00000(X a )V(Y b )V(a  X )(b Y )r rX n nY n nanb  n  1 2  (X n a0)2 (Y n b0)2 r0 0   2       1 化为矩阵形式为 X 1 a0       Y 1 b0 X 2 a0Y 2 b0  X n a0 V X1   V  Y1    VX 21  V  + Y2     Y n b0 V X n   V Y   n  a 0 X 1  0 a  X 2   0  a  X n b0Y 1 b0Y 2  b0Y n 1 020202(X  a )  (Y b )  r 11 2 0 r   a  2 1  r0    (X 2  a0)2 (Y 2 b0)2 r0  b   2     r  0   r   1 020202(X  a )  (Y b )  r nn  2            0 （4）       式（4）可视为附有参数的条件平差的函数模型： ˆ W  0 （5）AV  Bx 其中， V X1   V  Y1  00 X 1  aY 1 b V X 21  00  X 2  aY 2 b  A ，V＝V Y2 ，       X n  a0Y n b0  V X n  V Y   n  a 0 X 1  0a  X 2B＝   0  a  X n b0Y 1 b0Y 2  b0Y n 1 020202(X a ) (Y b ) r 1 2 1 0 r   a   1 (X a0)2(Y b0)2r02 r0  22ˆ ＝ b ，W＝2，x    r    r0  1 020202(X a ) (Y b ) r nn  2                 1.2 精度评定公式 单位权方差估值公式 VTPV ˆ（6） r 2 0 2 平差参数的协因数阵 1T11Q X  (BT(AP1AT)1B)1（7） ˆXˆ  N bb  (B N aa B) 平差参数的协方差阵 2ˆ 0 D X Q X ˆXˆ  ˆXˆ （8） 2 实验计算 2.1 实验数据 如图 1 所示，为一圆形建筑物的轮廓示意图。在实际测量中，为了确定该圆形 建筑物的形状和大小，在其周围采集了若干点的平面坐标。 图图 1 1 圆形建筑物及碎部点分布示意图圆形建筑物及碎部点分布示意图 图 1 中，沿着其圆形轮廓线同精度观测了 6 个碎部点，各点坐标列于表 1 中， 如下所示 表表 1 1 所观测的圆形轮廓线碎部点坐标（单位：所观测的圆形轮廓线碎部点坐标（单位：mm）） 点号点号 1 2 3 4 5 6 X X 86.758 81.170 71.966 64.957 73.269 82.574 Y Y 103.660 115.511 116.264 107.745 95.200 97.014 2.22.2 第一次平差计算所得结果第一次平差计算所得结果 采用表 1 中点 1、3、5 的坐标，计算得出圆的圆心坐标为（75.9326,105.9371） ， 半径 r 为 11.0623 。由于确定一个圆至少需要 3 个点的坐标，因此以上得到的圆心 坐标和半径均为近似值。 为了得到较高精度的圆心坐标和半径，采用表1 中 6 个点的坐标进行了平差计 算，依据式（5） ，列立了 6 个方程，并组成了方程组，采用附有参数的条件平差原 理，计算得出第一次的平差结果，圆心坐标（ 75.8859,105.8878） ，半径为11.0610 。 平差所得碎部点坐标如表 2 所示， 表表 2 2 两次平差所得碎部点的坐标（单位：两次平差所得碎部点的坐标（单位：mm）） 点号点号第一次平差第一次平差 3 点号点号第二次平差第二次平差 X X 1’ 2’ 3’ 4’ 5’ 6’ (1)(1) Y Y 1’’ 2’’ 3’’ 4’’ 5’’ 6’’ (1)(1) X X(2) (2) Y Y(2) (2) 86.7239103.6672 81.2059115.5765 71.9804116.2266 64.9825107.7408 73.252895.13474 82.548697.04816 86