四年级数学之幻方和数阵

第六讲幻方和数阵 知识要点与学法指导：知识要点与学法指导： 传说在四千年前，洛河洪水泛滥，大禹去治水。有一天，从河 里浮出一只大乌龟，龟驮着一本书，称为“洛书” 。书上有一幅奇特的 这幅图用现在的数字表示，即为 1～9 这九个数字,填在九个格 子里，每一纵列、每一横行以及两条对角线上的三个数字之和都是 15（见上右图） 。我国古代数学家称它为“纵横图”或“九宫图” ，国外称 1 幻方曾使不少的爱好者入迷，目前世界上最大的幻方—“ 1256 阶泛对角幻方”就是1990年11月22日由无锡一位中学教师发明的， 这个数字方阵纵、 横排成 1256 行， 任何一条线以及对角线各数和都 是 990693236 数阵图就是把一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规 定位置上，这种图形，我们称之为数阵图。由于它既有数字之间的 运算，又要结合图形，因此对开发学生综合思考和形象思维很有益 处。数阵图的种类很多，这里我们将主要介绍封闭式的数阵图。幻 方和数阵图的填写不能只采取试的办法，而要根据题目的要求，所 给的数字的特征进行合理的分析思考，并在计算的基础上，先填写 关键位置的数，再填其他位置的数。 例例 1 1 把 1、2、3、4、5、6 填在图中，使每条边上的三个数之 和都等于 9。 2 【分析与解】【分析与解】 同学们，首先用你敏锐的眼光观察一下，三角形三个顶点的数 在求和时各使用了几次呢？如图（2）所示，很容易看出，位于三角 形顶点的三个数 a，b，c 各被使用了两次。 因此三条边上的总和表示为： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋a＋b＋c＝27 又因为 1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，与总和相差 27－21＝6，也就 是说 a＋b＋c＝6，所以三个顶点应选作1，2，3，其他数字也就可以依次 填入空位了［如图（3）所示］ 。 通过例 1 我们不难发现，填数的过程是有规律的。我们首先需 要找到关键数（即在数阵中重复使用的数字） ，然后通过总和找到关 键数的和，并以此确定关键数。关键数找到了，就可以根据每边的 数字和将其他数字填写完整。 聪明的同学们， 这个方法你掌握了吗？ 试一试试一试 1 1 把 1，2，3，4，5，6 这 6 个数，分别填在图中三角形三条边的 六个圆圈中。 （1）使每条边上的三个数之和等于10； （2）使每条边上的三个数之和等于11； （3）使每条边上的三个数之和等于12。 3 例例 2 2 把 1～10 十个数填入下图中的小圆中，使每个大圆上六 个数的和是 30。 【分析与解】【分析与解】 每个大圆上都有六个数，由于中间两个小圆内的数是公用的， 我们设这两个数为 a 和 b。根据题意可知：1＋2＋3＋……＋10＋a ＋b 的和除以 2 是 30，即a＋b＝5。在1～10 中，只有1＋4 和 2＋3 的和是 5，因此，当a、b 分别是 1 和 4 时，另外四个数的和是30－ 5＝25，应该是 2，6，8，9 和 3，5，7，10；当 a、b 分别是 2 和 3 时，另外四个数应该是 1，5，9，10 和 4，6，7，8。 试一试试一试 2 2 将 1～8 八个数分别填入下图的○里，使每个大圆上五个○内的 数的和都是 22。 例例 3 3 将 1～9 九个数字填在右图内九个方格里,每格填一个数 字，使每一横行、每一纵行和两条对角线上三个数之和相等。 【分析与解】【分析与解】 因为三个横行或三个纵行数字总和是1＋2＋ 3＋……＋8＋9＝45，所以，每一横行或每一纵行 三个数字之和等于 45÷3＝15。 4 1～9 九个数字中， 其中三个不同的数字相加等于15， 共有八种： 9＋5＋1，9＋4＋2，8＋6＋1，8＋5＋2，8＋4＋3，7＋6＋2，7＋5 ＋3，6＋5＋4。 图中每一横行、每一纵行和每条对角线的三个数必须是八个算 式中的某三个加数。中心数有 4 条线经过，要求此数在四个算式中 出现，必定是 5。而 2，4，6，8 各出现在三个算式中，所以这四个 数应填在四个角上。这样每一格应填哪一个数字就可以确定了。可 以排出下列八种不同的填法，即八个三阶幻方： 9 2 有一种简便易行的编排幻方的方法—罗伯法。概括如下： 小数上行正中央，依次右上切莫忘； 上出框时最下填，右出框时最左放； 排重便在下格填，右上排重一个样。 右上无法再填时，紧挨该数填下方。 2 2 111 33 22 (1)(2)(3) 5 1 35 4 6 2 9 1 6 8 816 8 35 7 35 7 4492 (6)(7) 7 1 3 42 (4) 3 3试一试试一试 (5) （1）用 11—19 这 9 个数字构制一个三阶幻方。 （2）用 1，3，5，7，9，11，13，15，17 这九个奇数构制一个 三阶幻方。 例例 4 4 把 1～16 这 16 个数分别填入右上图 中的 16 个方格内，使横行、竖行、两条对角线 上的四个数的和都相等。 【分析与解】【分析与解】 这道题我们可以采用“对称交换”的方法进行编排。 （1）将 1～16 分别填在这四阶幻方的小格内［下图（a） ］ ，这 时两条对角线上四个数的和都是 34，而其他横行、竖行四个数的和 都不等于 34。 （2） 两条对角线上的数不动， 仍做四阶幻方的两条对角线。 一、 四竖行与二、三竖行中的其他数对称交换［下图（b） ］ 。 （3）再将一、四与二、三横行非对角线上的数对称交换，即制 成了一个四阶幻方［前图（c） ］ 试一试试一试 4 4 把 5～20 这 16 个数分别填入右图的 16 个方 6 （试一试 4 图） 格内，使横、竖、斜行上的四个数的和都相等。 练习六练习六 1. 将 4—9 这 6 个数填在下面的空格里， 使每条线段的三个数的 和都是 18。 （1 题图） 2. 将 4—9 这 6 个数填在下面的空格里， 使每条线段的三个数的 和都是 21。 （2 题图） 3． 把5—10这六个数分别填入图中三角形三条边的六个圆圈内， 使每条边上三个圆圈内数的和都是24。 7 （3 题图） 4. 将 1—9 填入图中，使三角形每条边上的四个数之和都等于 17。 5. 把 1～10 这十个数分别填入下面图的○内，使每个大圆上五 个数的和是 36。 （5 题图） 6．把1—10 这十个数分别填入下图中的○内，使每个大圆圈上 五个数的和是 33。 （6 题图） 7．把 1—8 这八个数分别填入图中的八个圆圈中，使每个圆圈 上五个数的和都等于 21。 8 （7 题图） 8. 将 1～8 八个数分别填入下图中， 使每条边上三个数的和等于 12。 （8 题图） 9. 把 3，4，5，6，7，8，9，10，11 九个数填入下面图（1）的 空格内，使每一行、每一列和两条对角线上的数的和都相等。 （9 题图） 10. 把 4～19 这十六个数填入下面图（2）的空格内，使每一行、 每一列和两条对角线上的数的和都相等。 （10 题图） 11．用 2、4、6、8、10、12、14、16、18 这九个偶数编别一个 三阶幻方。 9 12．把 4—12 这九个数填入下图中的空格内，使每一行、每一 列和每条对角线上的数的和都相等。 （12 题图） 13. 在下图的空格里填上合适的数， 使横、竖