初中数学重点梳理:无理方程
无理方程无理方程 知识定位知识定位 未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程),这是数学竞赛中经常出现的一些 特殊形式的方程中的一种. 解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解, 在变 形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法.常用的方法有:乘方法、配方法、 因式分解 法、设辅助元素法、利用比例性质法等.本讲将通过例题来说明这些方法的运用。 知识梳理知识梳理 1 1、无理方程:、无理方程:根式方程就是根号内含有未知数的方程。根式方程又叫无理方程。有理方程 和根式方程(无理方程)合称为代数方程 常用方法:乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法。 2 2、解无理方程的步骤:、解无理方程的步骤:去根号、解有理方程、检验、总结。 注意点:用乘方法化无理方程为有理方程并求出其解后,应验根: 1)有理方程的解满足无理方程时,其为无理方程的解; 2)有理方程的解不满足无理方程时,其为无理方程的增根; 3)有理方程的所有解都是无理方程的增根时,原无理方程无解。 例题精讲例题精讲 【试题来源】 【题目】解方程 x 7 x 1 【答案】x 3或x 2 【解析】移项得: x 7 x 1 2 两边平方得:x 7 x 2x 1 2 移项,合并同类项得:x x 6 0 解得:x 3或x 2 检验:把x 3代入原方程,左边右边,所以x 3是增根. 把x 2代入原方程,左边 = 右边,所以x 2是原方程的根. 所以,原方程的解是x 2. 说明:说明:含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤: 1 ① 移项,使方程的左边只保留含未知数的二次根式,其余各项均移到方程的右边; ② 两边同时平方,得到一个整式方程; ③ 解整式方程;④验根. 【知识点】无理方程(平方法) 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】解方程 【答案】x=4 【解析】解 移项得 两边平方后整理得 再两边平方后整理得x2+3x-28=0, 所以 x1=4,x2=-7. 经检验知,x2=-7 为增根,所以原方程的根为x=4. 【知识点】无理方程 【适用场合】当堂练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】解方程 3x 15x2 x 5x1 2 【答案】x 1,x 0 【解析】设x25x 1 y,则x 5x 1 y 3x 15x 3(y 1) 2222 22 1 原方程可化为:3(y 1) 2y 2, 即3y 2y 5 0,解得:y 1或y 2 2 5 . 3 (1)当y 1时,x25x1 1 x25x 0 x 1或x 0; (2)当y 5 时,因为x25x 1 y 0,所以方程无解. 3 检验:把x 1,x 0分别代入原方程,都适合. 所以,原方程的解是x 1,x 0 【知识点】无理方程(换元法) 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】解方程 【答案】x=-2 【解析】解 注意到(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2). 设 则 u2-v2=w2-t2,① u+v=w+t.② 因为 u+v=w+t=0 无解,所以①÷②得 u-v=w-t.③ ②+③得 u=w,即 解得 x=-2. 1 经检验,x=-2 是原方程的根 【知识点】无理方程 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】解方程 【答案】 【解析】解: 方公式将方程的左端配方.将原方程变形为 所以 两边平方得 3x2+x=9-6x+x2, 1 两边平方得 3x2+x=x2+6x+9, 【知识点】无理方程(公式法) 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】解方程 【答案】x=1/4 【解析】 即 所以 1 移项得 【知识点】无理方程 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】解方程 【答案】x=±2a 【解析】根据合分比定理得 两边平方得 再用合分比定理得 化简得 x2=4a2.解得 x=±2a. 经检验,x=±2a 是原方程的根 【知识点】无理方程 1 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】三角形的三条边长分别为2、k、4,若 k 满足方程 k2﹣6k+12﹣ k 的值 【答案】3 【解析】k2﹣6k+12﹣ k2﹣6k+12﹣ =0 =0 =0,则 ∵2、k、4 分别是三角形的三条边长 ∴2+4>k ∴k<6 ∴k2﹣6k+12﹣ k2﹣6k+12+(k﹣6)=0 整理得: (k﹣2) (k﹣3)=0 ∴k=2(不合题意舍去)或k=3 【知识点】无理方程 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】已知 【答案】2 【解析】解:解:已知 ∴原式可化简为: =0 ,则 x 等于 ,∴x>0, ++3=10, 1 ∴=2, 两边平方得:2x=4, ∴x=2, 【知识点】无理方程 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】方程 【答案】2 【解析】解:方程 ∴ 当 x≥1 时, 两边平方得:x2﹣4x+4=9, 解得:x=﹣1 或 x=5, ∵x≥1, ∴x=5, 当 x<1 时, 两边平方得:x2=9, ∴x=±3, ∵x<1, ∴x=﹣3, 故所有解的和为:5+(﹣3)=2, 【知识点】无理方程 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】4 【试题来源】 1 的所有解的和为 , =3, =3, =3, 【题目】方程 【答案】有无穷多个解 【解析】解:解:将方程变形为 若 即 得 x=10; 若 则①成为 即 得 x=5; 若 则①成为 ,即 5<x<10 时, , , , , ,则①成为 , , …①, 的解的情况是 即 1=1,这是一个恒等式,满足5<x<10 的任何 x 都是方程的解, 结合以上讨论,可知,方程的解是满足5≤x≤10 的一切实数,即有无穷多个解. 【知识点】无理方程 【适用场合】当堂例题 【难度系数】5 【试题来源】 【题目】如果满足 【答案】0≤a≤5 【解析】解:解:=|(x﹣1) (x﹣2)|; =a 的实数 x 恰有 6 个值,那么 a 的取值范围是 ①当 x﹣1>0,且 x﹣2>0,即 x>2 时, =|x2﹣3x+2﹣5|=|(x﹣ )2﹣|, 1 当 x= 时, ∴0≤a<; =a=, ②当 x﹣1>0,且 x﹣2<0,即 1<x<2 时, =|﹣x2+3x﹣2﹣5|=|(x﹣ )2+ 当 x= 时, ∴a=≥ =a= ; , |; ③当 x﹣1<0,且 x﹣2<0,即 x<1 时, =|x2﹣3x+2﹣5|=|(x﹣ )2﹣ 当 x= 时, ∴0≤a<; =|﹣5|=5; =a=, |, ④当 x﹣1=0 或 x﹣2=0,即 x=1 或 x=2 时, 综上所述,a 的取值范围是:0≤a≤5 【知识点】无理方程 【适用场合】当堂例题 【难度系数】5 习题演练习题演练 【试题来源】 【题目】解方程 【答案】x