初中数学重点梳理：无理方程

无理方程无理方程 知识定位知识定位 未知数含在根号下的方程叫作无理方程或根式方程，这是数学竞赛中经常出现的一些 特殊形式的方程中的一种． 解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解， 在变 形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有乘方法、配方法、 因式分解 法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用。 知识梳理知识梳理 1 1、无理方程、无理方程根式方程就是根号内含有未知数的方程。根式方程又叫无理方程。有理方程 和根式方程无理方程合称为代数方程 常用方法乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法。 2 2、解无理方程的步骤、解无理方程的步骤去根号、解有理方程、检验、总结。 注意点用乘方法化无理方程为有理方程并求出其解后，应验根 1）有理方程的解满足无理方程时，其为无理方程的解； 2）有理方程的解不满足无理方程时，其为无理方程的增根； 3）有理方程的所有解都是无理方程的增根时，原无理方程无解。 例题精讲例题精讲 【试题来源】 【题目】解方程 x  7  x 1 【答案】x  3或x  2 【解析】移项得 x  7  x 1 2 两边平方得x  7  x  2x 1 2 移项，合并同类项得x  x  6  0 解得x  3或x  2 检验把x  3代入原方程，左边右边，所以x  3是增根． 把x  2代入原方程，左边 右边，所以x  2是原方程的根． 所以，原方程的解是x  2． 说明说明含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤 1 ① 移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边； ② 两边同时平方，得到一个整式方程； ③ 解整式方程；④验根． 【知识点】无理方程（平方法） 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】解方程 【答案】x4 【解析】解 移项得 两边平方后整理得 再两边平方后整理得x2＋3x-28＝0， 所以 x14，x2-7． 经检验知，x2-7 为增根，所以原方程的根为x4． 【知识点】无理方程 【适用场合】当堂练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】解方程 3x 15x2 x 5x1  2 【答案】x  1,x  0 【解析】设x25x 1  y，则x 5x 1 y  3x 15x  3y 1 2222 22 1 原方程可化为3y 1 2y  2， 即3y  2y 5  0，解得y 1或y   2 2 5 ． 3 1当y 1时，x25x1 1 x25x  0  x  1或x  0； 2当y   5 时，因为x25x 1  y  0，所以方程无解． 3 检验把x  1,x  0分别代入原方程，都适合． 所以，原方程的解是x  1,x  0 【知识点】无理方程（换元法） 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】解方程 【答案】x-2 【解析】解 注意到2x2-1-x2-3x-22x22x3-x2-x2． 设 则 u2-v2＝w2-t2，① uvwt．② 因为 uvwt0 无解，所以①②得 u-vw-t．③ ②＋③得 uw，即 解得 x-2． 1 经检验，x-2 是原方程的根 【知识点】无理方程 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】解方程 【答案】 【解析】解 方公式将方程的左端配方．将原方程变形为 所以 两边平方得 3x2x9-6x＋x2， 1 两边平方得 3x2xx2＋6x＋9， 【知识点】无理方程（公式法） 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】解方程 【答案】x1/4 【解析】 即 所以 1 移项得 【知识点】无理方程 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】解方程 【答案】x2a 【解析】根据合分比定理得 两边平方得 再用合分比定理得 化简得 x24a2．解得 x2a． 经检验，x2a 是原方程的根 【知识点】无理方程 1 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】三角形的三条边长分别为2、k、4，若 k 满足方程 k2﹣6k12﹣ k 的值 【答案】3 【解析】k2﹣6k12﹣ k2﹣6k12﹣ 0 0 0，则 ∵2、k、4 分别是三角形的三条边长 ∴24＞k ∴k＜6 ∴k2﹣6k12﹣ k2﹣6k12（k﹣6）0 整理得 （k﹣2） （k﹣3）0 ∴k2（不合题意舍去）或k3 【知识点】无理方程 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】已知 【答案】2 【解析】解解已知 ∴原式可化简为 0 ，则 x 等于 ，∴x＞0， 310， 1 ∴2， 两边平方得2x4， ∴x2， 【知识点】无理方程 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】方程 【答案】2 【解析】解方程 ∴ 当 x≥1 时， 两边平方得x2﹣4x49， 解得x﹣1 或 x5， ∵x≥1， ∴x5， 当 x＜1 时， 两边平方得x29， ∴x3， ∵x＜1， ∴x﹣3， 故所有解的和为5（﹣3）2， 【知识点】无理方程 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】4 【试题来源】 1 的所有解的和为 ， 3， 3， 3， 【题目】方程 【答案】有无穷多个解 【解析】解解将方程变形为 若 即 得 x10； 若 则①成为 即 得 x5； 若 则①成为 ，即 5＜x＜10 时， ， ， ， ， ，则①成为 ， ， ①， 的解的情况是 即 11，这是一个恒等式，满足5＜x＜10 的任何 x 都是方程的解， 结合以上讨论，可知，方程的解是满足5≤x≤10 的一切实数，即有无穷多个解． 【知识点】无理方程 【适用场合】当堂例题 【难度系数】5 【试题来源】 【题目】如果满足 【答案】0≤a≤5 【解析】解解|（x﹣1） （x﹣2）|； a 的实数 x 恰有 6 个值，那么 a 的取值范围是 ①当 x﹣1＞0，且 x﹣2＞0，即 x＞2 时， |x2﹣3x2﹣5||（x﹣ ）2﹣|， 1 当 x 时， ∴0≤a＜； a， ②当 x﹣1＞0，且 x﹣2＜0，即 1＜x＜2 时， |﹣x23x﹣2﹣5||（x﹣ ）2 当 x 时， ∴a≥ a ； ， |； ③当 x﹣1＜0，且 x﹣2＜0，即 x＜1 时， |x2﹣3x2﹣5||（x﹣ ）2﹣ 当 x 时， ∴0≤a＜； |﹣5|5； a， |， ④当 x﹣10 或 x﹣20，即 x1 或 x2 时， 综上所述，a 的取值范围是0≤a≤5 【知识点】无理方程 【适用场合】当堂例题 【难度系数】5 习题演练习题演练 【试题来源】 【题目】解方程 【答案】x 