初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题27数形结合

专题专题 2727数形结合数形结合 阅读与思考阅读与思考 数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单地说就是“数”与“形”，对现实世界 的事物，我们既可以从“数”的角度来研究，也可以从“形”的角度来探讨，我们在研究“数”的性质 时，离不开“形” ；而在探讨“形”的性质时，也可以借助于“数” ．我们把这种由数量关系来研究图形 性质，或由图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作 数形结合思想. 数形结合有下列若干途径： 1．借助于平面直角坐标系解代数问题； 2．借助于图形、图表解代数问题； 3．借助于方程（组）或不等式（组）解几何问题； 4．借助于函数解几何问题. 现代心理学表明：人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能；右半球主要具 有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能．要有效地获得知识，则需要 两个半球的协同工作，数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能. 代数表达及其运算，全面、精确、入微，克服了几何直观的许多局限性，正因为如此，笛卡尔创立 了解析几何，用代数方法统一处理几何问题．从而成为现代数学的先驱．几何问题代数化乃是数学的一 大进步． 例题与求解例题与求解 【例【例 l l】】设y  x22x2 x24x13，则y的最小值为___________.（罗马尼亚竞赛试题） 解题思路解题思路：若想求出被开方式的最小值，则顾此失彼．y  x12 1 x22 9＝ x12 012 x22 032，于是问题转化为：在x轴上求一点 C(x，0)，使它到两 点 A（－1，1）和 B(2，3)的距离之和（即 CA＋CB）最小. 【例【例 2 2】】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是x厘米，面积是x平方厘米，这样的直角三 角形 () A．不存在B．至多 1 个C．有 4 个D．有 2 个 （黄冈市竞赛试题） 解题思路解题思路： 由题意可得若干关系式， 若此关系式无解， 则可推知满足题设要求的直角三角形不存在； 若此关系式有解，则可推知这样的直角三角形存在，且根据解的个数，可确定此直角三角形的个数． 【例【例 3 3】】如图，在△ABC 中，∠A＝90，∠B＝2∠C，∠B 的平分线交 AC 于 D，AE⊥BC 于 E， DF⊥BC 于 F.求证： 0 111 . BDDFAEBFAEBE （湖北省竞赛试题） 解题思路解题思路：图形中含多个重要的基本图形，待证结论中的代数迹象十分明显．可依据题设条件，分 别计算出各个线段，利用代数法证明． B B E E F F A A D D C C 【例【例 4 4】】 当a在什么范围内取值时，方程x25x  a有且只有相异的两实数根？ （四川省联赛试题） 解题思路：解题思路：从函数的观点看，问题可转化为函数y  x 5x与函数y  a(a≥0)图象有且只有相 异两个交点．作出函数图象，由图象可直观地得a的取值范围． 【例【例 5 5】】 设△ABC 三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别在 三角形另两边上）的面积都相等，证明：△ABC 为正三角形．（江苏省竞赛试题） 解题思路解题思路：设△ABC 三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为ha，h b ，hc，△ABC 的面积 为S，则易得三个内接正方形边长分别为 2 2S2S2S ，，，由题意得aha  bh b  ch c， ah a bh b ch c 即a 2S2S2S2S  L. b c L．则a，b，c适合方程x xabc  2 y2  25 x  xy 3  y2 【例【例 6 6】】设正数x，y，z满足方程组，求xy2yz 3zx的值．  z29 3  22 z  zx x 16 （俄罗斯中学生数学竞赛试题） 能力训练能力训练 1. 不查表可求得 tan15的值为__________. 2. 如图，点 A，C 都在函数y  0 3 3 (x  0)的图象上，点 B，D 都在x轴上，且使得△OAB，△ x BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为______________.（全国初中数学联赛试题） 3．平面直角坐标系上有点 P(－1，－2)和点 Q(4，2)，取点 R(1，m)，当m________时，PR＋ RQ 有最小值. 4.若a  0，b  0，要使xa  xb  ab成立，x的取值范围是__________. 5.已知 AB 是半径为 1 的⊙O 的弦，AB 的长为方程x  x1 0的正根，则∠AOB 的度数是 ______________.（太原市竞赛试题） 6. 如图，所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依 次为 2，4，6，8，…，顶点依次用A 1 ，A2，A 3 ，A4，…表示，则顶点A 55 的坐标是() 2 A . (13，13)B．(－13，－13)C.(14，14)D. (－14，一 14) y y A A1 1 0 0 A A6 6A A7 7 A A2 2A A3 3 x x O O A A1 1 1 1 y y A A C C x x O O B BD D A A9 9 A A5 5 A A1 1A A4 4 A A8 8 A A1 1 2 2 第 2 题图第 6 题图 7．在△ABC 中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4．在△ABD 中，∠A＝90，AD＝12.点 C 和点 D 分居 AB 两侧，过点 D 且平行于 AC 的直线交 CB 的延长线于 E．如果 00 DEm  ，其中，m，n是互质的正整数， DBn 那么mn= () A. 25B.128C.153D.243E.256 （美国数学统一考试题） 8．设a，b，c分别是△ABC 的三边的长，且 aab ，则它的内角∠A，∠B 的关系是() babc A．∠B＞2∠AB．∠B=2∠AC．∠B＜2∠AD．不确定 9．如图，SAFG 5a，SACG 4a，SBFG 7a，则SAEG() A． 27282930 a B． a C． a D． a 11111111 10. 满足两条直角边边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有() A. 1 个B．2 个C．3 个D．无穷多个 11.如图，关于x的二次函数y  x 2mx m的图象与x轴交于 A(x1，0)，B(x2，0)两点(x2＞0＞x1)， 与y轴交于 C 点，且∠BAC＝∠BCO. (1) 求这个二次函数的解析式； (2) 以点 D（ 2，0）为圆心⊙D，与y轴相切于点 O，过＝抛物线上一点 E(x 3 ，t)(t＞0，x3＜ 0)作x轴的平行线与⊙D 交于 F，G 两点，与抛物线交于另一点H．问是否存在实数t，使得EF＋GH＝ CF?如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．（武汉市中考题） 2 y y F F A AO O C C E E G G D