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初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题27数形结合

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初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题27数形结合

专题专题 2727数形结合数形结合 阅读与思考阅读与思考 数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式,简单地说就是“数”与“形”,对现实世界 的事物,我们既可以从“数”的角度来研究,也可以从“形”的角度来探讨,我们在研究“数”的性质 时,离不开“形” ;而在探讨“形”的性质时,也可以借助于“数” .我们把这种由数量关系来研究图形 性质,或由图形的性质来探讨数量关系,即这种“数”与“形”的相互转化的解决数学问题的思想叫作 数形结合思想. 数形结合有下列若干途径 1.借助于平面直角坐标系解代数问题; 2.借助于图形、图表解代数问题; 3.借助于方程(组)或不等式(组)解几何问题; 4.借助于函数解几何问题. 现代心理学表明人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、抽象思维的功能;右半球主要具 有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能.要有效地获得知识,则需要 两个半球的协同工作,数形结合分析问题有利于发挥左、右大脑半球的协作功能. 代数表达及其运算,全面、精确、入微,克服了几何直观的许多局限性,正因为如此,笛卡尔创立 了解析几何,用代数方法统一处理几何问题.从而成为现代数学的先驱.几何问题代数化乃是数学的一 大进步. 例题与求解例题与求解 【例【例 l l】】设y  x22x2 x24x13,则y的最小值为___________.(罗马尼亚竞赛试题) 解题思路解题思路若想求出被开方式的最小值,则顾此失彼.y  x12 1 x22 9= x12 012 x22 032,于是问题转化为在x轴上求一点 Cx,0,使它到两 点 A(-1,1)和 B2,3的距离之和(即 CA+CB)最小. 【例【例 2 2】】直角三角形的两条直角边之长为整数,它的周长是x厘米,面积是x平方厘米,这样的直角三 角形 A.不存在B.至多 1 个C.有 4 个D.有 2 个 (黄冈市竞赛试题) 解题思路解题思路 由题意可得若干关系式, 若此关系式无解, 则可推知满足题设要求的直角三角形不存在; 若此关系式有解,则可推知这样的直角三角形存在,且根据解的个数,可确定此直角三角形的个数. 【例【例 3 3】】如图,在△ABC 中,∠A=90,∠B=2∠C,∠B 的平分线交 AC 于 D,AE⊥BC 于 E, DF⊥BC 于 F.求证 0 111 . BDDFAEBFAEBE (湖北省竞赛试题) 解题思路解题思路图形中含多个重要的基本图形,待证结论中的代数迹象十分明显.可依据题设条件,分 别计算出各个线段,利用代数法证明. B B E E F F A A D D C C 【例【例 4 4】】 当a在什么范围内取值时,方程x25x  a有且只有相异的两实数根 (四川省联赛试题) 解题思路解题思路从函数的观点看,问题可转化为函数y  x 5x与函数y  aa≥0图象有且只有相 异两个交点.作出函数图象,由图象可直观地得a的取值范围. 【例【例 5 5】】 设△ABC 三边上的三个内接正方形(有两个顶点在三角形的一边上,另两个顶点分别在 三角形另两边上)的面积都相等,证明△ABC 为正三角形.(江苏省竞赛试题) 解题思路解题思路设△ABC 三边长分别为a,b,c,对应边上的高分别为ha,h b ,hc,△ABC 的面积 为S,则易得三个内接正方形边长分别为 2 2S2S2S ,,,由题意得aha  bh b  ch c, ah a bh b ch c 即a 2S2S2S2S  L. b c L.则a,b,c适合方程x xabc  2 y2  25 x  xy 3  y2 【例【例 6 6】】设正数x,y,z满足方程组,求xy2yz 3zx的值.  z29 3  22 z  zx x 16 (俄罗斯中学生数学竞赛试题) 能力训练能力训练 1. 不查表可求得 tan15的值为__________. 2. 如图,点 A,C 都在函数y  0 3 3 x  0的图象上,点 B,D 都在x轴上,且使得△OAB,△ x BCD 都是等边三角形,则点D 的坐标为______________.(全国初中数学联赛试题) 3.平面直角坐标系上有点 P-1,-2和点 Q4,2,取点 R1,m,当m________时,PR+ RQ 有最小值. 4.若a  0,b  0,要使xa  xb  ab成立,x的取值范围是__________. 5.已知 AB 是半径为 1 的⊙O 的弦,AB 的长为方程x  x1 0的正根,则∠AOB 的度数是 ______________.(太原市竞赛试题) 6. 如图,所在正方形的中心均在坐标原点,且各边与x轴或y轴平行,从内到外,它们的边长依 次为 2,4,6,8,,顶点依次用A 1 ,A2,A 3 ,A4,表示,则顶点A 55 的坐标是 2 A . 13,13B.-13,-13C.14,14D. -14,一 14 y y A A1 1 0 0 A A6 6A A7 7 A A2 2A A3 3 x x O O A A1 1 1 1 y y A A C C x x O O B BD D A A9 9 A A5 5 A A1 1A A4 4 A A8 8 A A1 1 2 2 第 2 题图第 6 题图 7.在△ABC 中,∠C=90,AC=3,BC=4.在△ABD 中,∠A=90,AD=12.点 C 和点 D 分居 AB 两侧,过点 D 且平行于 AC 的直线交 CB 的延长线于 E.如果 00 DEm  ,其中,m,n是互质的正整数, DBn 那么mn A. 25B.128C.153D.243E.256 (美国数学统一考试题) 8.设a,b,c分别是△ABC 的三边的长,且 aab ,则它的内角∠A,∠B 的关系是 babc A.∠B>2∠AB.∠B2∠AC.∠B<2∠AD.不确定 9.如图,SAFG 5a,SACG 4a,SBFG 7a,则SAEG A. 27282930 a B. a C. a D. a 11111111 10. 满足两条直角边边长均为整数,且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有 A. 1 个B.2 个C.3 个D.无穷多个 11.如图,关于x的二次函数y  x 2mx m的图象与x轴交于 Ax1,0,Bx2,0两点x2>0>x1, 与y轴交于 C 点,且∠BAC=∠BCO. 1 求这个二次函数的解析式; 2 以点 D( 2,0)为圆心⊙D,与y轴相切于点 O,过=抛物线上一点 Ex 3 ,tt>0,x3< 0作x轴的平行线与⊙D 交于 F,G 两点,与抛物线交于另一点H.问是否存在实数t,使得EF+GH= CF如果存在,求出t的值;如果不存在,请说明理由.(武汉市中考题) 2 y y F F A AO O C C E E G G D

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