清华附中创新班竞赛选修课第一讲 数

数学竞赛选修课 第一讲数论选讲 （清华附中创新班） 2015.3 1．有 3 只篮子中各装有一些李子、桃子和苹果．每个篮子中的李子个数恰 好是其他篮子中的桃子个数的总和，每个篮子中的桃子个数恰好是其他篮子中 的苹果个数的总和，求证： 这些水果的总数是 7 的倍数． 2． (1)若正整数 n 满足(n+3)|5n，求 n 的所有可能值 （4n-1）|2002n，那么 n 的所有可能值有哪些？ (2)n 是大于 30 的自然数，且 (3)n 是大于 1 的自然数，且(3n-4)|(8n+15)，那么 n 的所有可能值有哪些？ (4)n 是大于 1 的自然数，且(200n-999)|n2，那么 n 的所有可能值有哪些？3．用 2010 除以 A 得到的商和余数相同，试写出 A 的所有可能取值．4．数列 A：1， 3，9，27，81，……数列 B：1，3，6，10，15，……当 n 取 1 到 2013 时，有多少 个 n 的值使得这两个数列的前 n 项和除以 7 的余数相同．5．一个自然数的平方 除以 1001 的余数有多少种？其中最大的是？6． (1)若一个自然数共有 6 个约数，并且这 6 个约数的乘积在 1000 到 5000 之 间，求这个自然数． (2)若 n 的约数从大到小排列的第 3 个是 66，求 n． 7．两个正整数的和是 667，最小公倍数是最大公约数的 120 倍，求这两个 正整数． 1 1 / 2 2 8．设 p、q 是任意两个大于 100 的质数，那么 p2-1 和 q2-1 的最大公约数是 最小是多少？2 （3）=3，求证 3 不是有理数． 9．已知 10．设 p 是大于 5 的质数，并且 2p+1 也是质数，求证 4p+1 是合数． 2 2 / 2 2