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清华附中创新班竞赛选修课第一讲 数

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清华附中创新班竞赛选修课第一讲 数

数学竞赛选修课 第一讲数论选讲 (清华附中创新班) 2015.3 1.有 3 只篮子中各装有一些李子、桃子和苹果.每个篮子中的李子个数恰 好是其他篮子中的桃子个数的总和,每个篮子中的桃子个数恰好是其他篮子中 的苹果个数的总和,求证 这些水果的总数是 7 的倍数. 2. 1若正整数 n 满足n3|5n,求 n 的所有可能值 (4n-1)|2002n,那么 n 的所有可能值有哪些 2n 是大于 30 的自然数,且 3n 是大于 1 的自然数,且3n-4|8n15,那么 n 的所有可能值有哪些 4n 是大于 1 的自然数,且200n-999|n2,那么 n 的所有可能值有哪些3.用 2010 除以 A 得到的商和余数相同,试写出 A 的所有可能取值.4.数列 A1, 3,9,27,81,数列 B1,3,6,10,15,当 n 取 1 到 2013 时,有多少 个 n 的值使得这两个数列的前 n 项和除以 7 的余数相同.5.一个自然数的平方 除以 1001 的余数有多少种其中最大的是6. 1若一个自然数共有 6 个约数,并且这 6 个约数的乘积在 1000 到 5000 之 间,求这个自然数. 2若 n 的约数从大到小排列的第 3 个是 66,求 n. 7.两个正整数的和是 667,最小公倍数是最大公约数的 120 倍,求这两个 正整数. 1 1 / 2 2 8.设 p、q 是任意两个大于 100 的质数,那么 p2-1 和 q2-1 的最大公约数是 最小是多少2 (3)3,求证 3 不是有理数. 9.已知 10.设 p 是大于 5 的质数,并且 2p1 也是质数,求证 4p1 是合数. 2 2 / 2 2

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