2021年高考数学真题试卷新高考Ⅰ卷

20212021 年高考数学真题试卷（新高考年高考数学真题试卷（新高考ⅠⅠ卷）卷） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。（共分。（共 8 8 题；共题；共 4040 分）分） 1.设集合 A= {x|-20，当 ②当 时，f（x）=2x-1-2lnx，则 时，f (x)0，所以 f（x）min=f（1）=1； ， ， ， 时，f（x）=1-2x-2lnx，则 上为减函数，则 f（x）min=此时函数 f（x）=1-2x-2lnx 在 综上，f（x）min=1 故答案为：1 【分析】根据分段函数的定义，分别利用导数研究函数的单调性与最值，并比较即可求解 16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折。规格为20dm×12dm 的长方形纸.对折 1 次共可以得到 10dm×2dm、20dm×6dm 两种规格的图形，它们的面积之和 S1 =240 dm2， 对折 2 次共可以得 5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm 三种规格的图形，它们的面积之和 S2=180dm2。以此类推.则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折 n 次，那么 =________dm. 8 【答案】 5； 【考点】数列的求和，类比推理 【解析】【解答】解：对折 3 次有 2.5×12，6×5，3×10，20×1.5 共 4 种，面积和为 S3=4×30=120dm2; 对折 4 次有 1.25×12,2.5×6,3×5,1.5×10,20×0.75 共 5 种，面积和为 S4=5×15=75dm2; 对折 n 次有 n+1 中类型， 因此 上式相减，得 则 故答案为：5， . , ， 【分析】根据类比推理可求对折4 次及对折 n 次的图形种数，运用错位相减法可求 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。（共分。（共 6 6 题；共题；共 7070 分）分） 17.已知数列{}满足=1， （1）记 （2）求 =，写出，，并求数列的通项公式； 的前 20 项和 为偶数， ， ，即 ， ，且， 【答案】 （1） 则 是以为首项，3 为公差的等差数列， ， （2）当为奇数时， 的前项和为 ， ，． 9 ． 由（1）可知， 的前 20 项和为． ． 【考点】等差数列，等差数列的通项公式，数列的求和 【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义及通项公式即可求解； （2）运用分组求和法，结合项之间的关系即可求解. 18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从 中随机抽収一个问题冋答，若回答错误则该同学比赛结束；若 回答正确则从另一类问题中再随机抽取一 个问題回答，无论回答正确与否，该同学比赛 结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20 分，否则得 0 分：B 类问题中的每个问题 回答正确得 80 分，否则得 0 分。 己知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8 ,能正确回答 B 类问題的概率为 0.6.且能正确回答问题的概率与 回答次序无关。 （1）若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求X 的分布列： （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。 【答案】 （1）的取值可能为， ， ， ， 的分布列为 X P （2）假设先答类题，得分为， 则可能为 0，80，100， ， ， 0 0.2 20 0.32 100 0.48 ，， 10 ， 的分布列为 Y P 0 0.4 80 0.12 100 0.48 ， 由（1）可知 ， ∴ 应先答 B 类题． 【考点】相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率，并列出X 的分布列即可； （2）根据独立事件的概率，并列出Y 的分布列，根据期望公式求得E(X),E(Y)并比较即可判断. 19.记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a.，b.，c,已知 （1）证明：BD = b： （2）若 AD = 2DC .求 cos∠ ABC. 【答案】 （1）在中， =ac,点 D 在边 AC 上，BDsin∠ ABC=asinC. ， ， ， ， 联立得 ， ． （2）若 中， ， ， ，即， 11 中， ， ， ， 整理得 ， ， ，即 若 则 若 则 ， 时， ， . ， （舍）， 或， ， 【考点】正弦定理的应用，余弦定理的应用 【解析】【分析】（1）根据正弦定理求解即可； （2）根据余弦定理，结合方程思想和分类讨论思想求解即可. 20.如图，在三棱锥 A-BCD 中.平面 ABD 丄平面 BCD，AB=AD.O 为 BD 的中点. （1）证明：OA⊥CD： （2）若△OCD 是边长为 1 的等边三角形.点 E 在 棱 AD 上.DE=2EA.且二面角 E-BC-D 的大小为 45°，求三棱 锥 A-BCD 的体积. 【答案】 （1） ， 面 面面 ， 且面面， ，为中点， 12 面 ． ， （2）以为坐标原点，为轴，为轴，垂直且过的直线为轴， 设，， ， ， ， ，, 设为面法向量， ， ， 令，， ， 面法向量为， ，解得 ， ， ． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，平面与平面垂直的性质，与二面角有关的立体几何综合题，用空间向 量求平面间的夹角 【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合等腰三角形的性质求解即可； （2）利用向量法，结合二面角的平面角求得m=1，再根据棱锥的体积公式直接求解即可. ， ， 13 21.在平面直角坐标系 xOy 中，己知点 迹为 C. （1）求 C 的方程; （2） 设点T在直线 (-7,0)，(7,0),点 M 满足|MFt|-|MF2|=2.记 M 的轨 上，过T 的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ| , 求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和 【答案】 （1） 轨迹为双曲线右半支， ，， ． （2）设 设： ， ， ， ，， 联立， ， ， ， ， ， 设 同理 ， ， ，即 ， ， ：， ， ， 14 ， . 【考点】双曲线的定义，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义直接求解即可； （2）利用直线与双曲线的位置关系，结合根与系数的关系，以及弦长公式求解即可. 22.已知函数 f(x)=x（1-lnx) （1）讨论 f(x)的单调性 （2）设 a,b 为两个不相等的正数,且 blna-alnb=a-b 证明: 【答案】 （1） 在 （2）由 即 令 则 不妨令 先证 即证 令 则 ， 为的两根，其中 ， ，即证 ，则 ． ，得 单调递增，在单调递减 15 恒成立， 得证 同理，要证 即证 令 则，令 又 故 ， ， ，且 ， 恒成立 得证 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可求解； （2）根据