§9重积分习题与答案

1 第九章 重积分 A 1、 填空题 1）交换下列二次积分的积分次序 （1）    dxyxfdy y y 1 0 2 , ______________________________________________ （2）  dxyxfdy y y 2 0 2 2 ,______________________________________________ （3）  dxyxfdy y1 00 , _______________________________________________ （4）     dxyxfdy y y 1 0 1 1 2 2 , ___________________________________________ （5）  dyyxfdx ex 1 ln 0 , ______________________________________________ （6）      dxyxfdy y y 4 0 4 2 1 4 , ________________________________________ 2）积分 dyedx x y 2 0 2 2 的值等于__________________________________ 3)设   10 , 10,yxyxD ，试利用二重积分的性质估计  dyxxyI D  的 值则 。 4)设区域D是有x轴、y轴与直线1 yx所围成，根据二重积分的性质，试比较积分  dyxI D 2  与  dyxI D 3  的大小________________________________ 5）设         2 0 , 2 0,  yxyxD ，则积分 dxdy yxI D 2sin1 ___________________________________________ 6)已知是由12, 0, 0, 0zyxzyx所围，按先z后y再x的积分次序将   xdxdydzI 化为累次积分，则 __________________________I 7）设是由球面 222yxz 与锥面 22yxz 的围面，则三重积分 dxdydzzyxfI  )( 222 在球面坐标系下的三次积分表达式为 2、 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值 2 1）    axax dyyxdx 2 0 2 0 22 2 )( 2）  ax dyyxdx 00 22 3、利用极坐标计算下列各题 1）  D yxde 22 ，其中D是由圆周 1 22 yx 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域. 2）  D dyx)1ln( 22 ，其中D是由圆周 1 22 yx 及坐标轴所围成的在第一象限的 闭区域. 3） D d x y arctan ，其中D是由圆周 1, 4 2222yxyx 及直线xyy , 0所围成 的在第一象限的闭区域. 4、选用适当的坐标计算下列各题 1) D d y x  2 2 ,其中D是直线xyx , 2及曲线1xy所围成的闭区域. 3 2） D ydxsin)1 ( ，其中D是顶点分别为)2 , 1 (),0 , 1 (),0 , 0(和) 1 , 0(的梯形闭区域. 3） D dyxR 222 ，其中D是圆周 Rxyx 22 所围成的闭区域. 4）  D dyx 22 ，其中D是圆环形闭区域  2222),(byxayx . 5、 设平面薄片所占的闭区域D由螺线 2 上一段弧       2 0   与直线 2   所围成， 它的面密度为  22,yxyx ，求这薄片的质量（图 9-5）. 6、求平面 0y ，  0kkxy ，0z，以及球心在原点、半径为R的上半球面所围成 的在第一卦限内的立体的体积（图 9-6）. 4 7、设平面薄片所占的闭区域D由直线2 yx，xy 和x轴所围成，它的面密度  22,yxyx ，求该薄片的质量. 8、计算由四个平面0x，0y，1x，1y所围成的柱体被平面0z及 632zyx 截得的立体的体积. 9、求由平面0x，0y，1 yx所围成的柱体被平面0z及抛物面 zyx6 22 截得的立体的体积. 10、计算以xoy面上的圆周 axyx 22 围成的闭区域为底，而以曲面 22yxz 为顶的 曲顶柱体的体积. 5 11、化三重积分    dxdydzzyxfI,, 为三次积分，其中积分区域分别是 1）由双曲抛物面zxy 及平面0, 01zyx所围成的闭区域. 2）由曲面 222yxz 及 22xz 所围成的闭区域. 12、 设有一物体， 占有空间闭区域   10 , 10 , 10,,zyxzyx ， 在点  zyx,, 处的密度为  zyxzyx,, ，计算该物体的质量. 13、计算  dxdydzzxy 32 ，其中是由曲面xyz ，与平面1,xxy和0z所围成 的闭区域. 14、计算  xyzdxdydz，其中为球面1 222zyx 及三个坐标面所围成的在第一卦 限内的闭区域. 15、算  zdxdydz，其中是由锥面 22yx R h z 与平面  0, 0hRhz 所围成 的闭区域. 6 16、 利用柱面坐标计算三重积分  zdv， 其中是由曲面 222yxz 及 22yxz 所围成的闭区域. 17、 利用球面坐标计算三重积分    dvzyx 222 ， 其中是由球面 1 222zyx 所 围成的闭区域. 18、选用适当的坐标计算下列三重积分 1）  xydv，其中为柱面1 22 yx 及平面1z，0z0x，0y所围成的在 第一卦限内的闭区域. 2）  dxdydzz2 ，其中是两个球 2222Rzyx 和 )0(2 222RRzzyx 的 公共部分. 3）    dvyx 22 ，其中是由曲面  222254yxz 及平面5z所围成的闭区域. 7 4）    dvyx 22 ， 其中闭区域由不等式Azyxa 2220 ，0z所确定. 19、利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积 1） 226yxz 及 22yxz . 2）  02 222aazzyx 及 222zyx (含有z轴的部分). 20、球心在原点、半径为R的球体，在其上任意一点的密度大小与这点到球心的距离成正