二重积分的概念与性质

经济数学---微积分教案 第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 教学目的：理解二重积分的概念，掌握二重积分的性质。 教学重点：二重积分的定义及性质。 教学难点：二重积分的定义、性质、 二重积分的几何意义。 教学时数：2 教学内容： 二重积分也是由实际问题的需要而产生的。 在一元函数积分学中我们已经知道， 定积分 是某种特定形式的和的极限， 把这种和的极限的概念推广到定义在某个区域上的二元函数的 形式，便可得到二重积分的概念。 一、二重积分的概念 引例引例 1 1 曲顶柱体的体积 设有一立体，它的底是xoy平面上的有界闭区域 D，它的侧面是以 D 的边界曲线为准 线而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z  f (x, y)，这里f (x, y)  0，且在 D 上连续 （如图所示） 。这种立体称为曲顶柱体。现在我们来讨论它的体积。 关于曲项柱体，当点(x, y)在区域 D 上变动时，高f (x, y)是个变量，因此它的体积不 能直接用体积公式来计算。不难想到，用求曲边梯形面积的方法来解这个问题。 (1) 分割：我们用一曲线网把区域D 任意分成 n 个小区域  1 ， 2 ，…，  n 小区域 i 的面积也记作 i 。以这些小区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面， 这些柱面把原来的曲项柱体分为n 个细条的小曲顶柱体。它们的体积分别记作 V 1 ，V2，…，Vn 1 山 东 女 子 学 院 经济数学---微积分教案 (2) 近似代替：对于一个小区域 i ，当直径（i最长两点的距离）很小时，由于 f (x, y)连续，f (x, y)在 i 中的变化很小，可以近似地看作常数。即若任意取点 ( i , i ) i ，则当(x, y) i 时，有f (x, y) f ( i , i )，从而以 i 为底的细条曲 顶柱体可近似地看作以f ( i , i )为高的平顶柱体（如图所示）于是 V i  f ( i , i ) i (i 1,2,3,,n) (3) 求和：把这些细条曲顶柱体体积的近似值f ( i , i ) i 加起来，就得到所求的曲 顶柱体体积V的近似值，即 V V i f ( i , i ) i i1i1 nn (4) 取极限：一般地，如果区域D 分得越细，则上述和式就越接近于曲顶柱体体积V， 当把区域 D 无限细分时，即当所有小区域的最大直径 0时，则和式的极限就是所求的 曲顶柱体的体积 V，即 V  lim 引例引例 2 2 非均匀平面薄板的质量 0  f (,) ii i1 n i 设薄片的形状为闭区域D(如图所示)，其面密度是点(x, y)的函数，即(x, y)在 D 上为正的连续函数．当质量分布是均匀时，即为常数，则质量 M 等于面密度乘以薄片 的面积。当质量分布不均匀时，是随点(x, y)而变化，如何求质量呢？我们采用与曲顶柱 体的体积相类似的方法求薄片的质量。 2 山 东 女 子 学 院 经济数学---微积分教案 (1) 分割：把区域 D 任意分成 n 个小区域  1 ， 2 ，…， n 小区域 i 的面积也记作 i 。该薄板就相应地分成 n 个小块薄板。 (2) 近似代替： 对于一个小区域 i ， 当直径很小时， 由于(x, y)连续，(x, y)在 i 中的变化很小，可以近似地看作常数。即若任意取点( i , i ) i ，则当(x, y) i 时， 有(x, y)( i , i )，从而 i 上薄板的质量可近似地看作以( i , i )为面密度的均匀 薄板，于是 M i ( i , i ) i (i 1,2,3,,n) (3) 求和：把这些小薄板质量的近似值( i , i ) i 加起来，就得到所求的整块薄板质 量的近似值，即 M M i ( i , i ) i i1i1 nn (4) 取极限：一般地，如果区域D 分得越细，则上述和式就越接近于非均匀平面薄板的 质量 M，当把区域 D 无限细分时，即当所有小区域的最大直径 0时，则和式的极限就 是所求的非均匀平面薄板的质量M，即 M  lim 0 ( ,) ii i1 n i 上面两个例子的意义虽然不同，但解决问题的方法是一样的，都归结为求二元函数的某 种和式的极限，我们抽去它们的几何或物理意义，研究它们的共性，便得二重积分的定义． 定义 设函数z  f (x, y)在闭区域 D 上有定义，将 D 任意分成 n 个小区域  1 ， 2 ，…， n 其中 i 表示第i个小区域，也表示它的面积。在每个小区域 i 上任取一点( i , i )，作 乘积f ( i , i ) i (i 1,2,3,,n)，并作和式 3  f (,) ii i1 n i ，如果当各小区域的直径 山 东 女 子 学 院 经济数学---微积分教案 中的最大值趋于零时，此和式的极限存在，且极限值与区域 D 的分法无关，也与每个小 区域 i 中点( i , i )的取法无关． 则称此极限值为函数f (x, y)在闭区域 D 上的二重积分， 记作f (x, y)d，即 D f (x, y)d D  lim 0  f (,) ii i1 n i 其中叫做二重积分号，f (x, y)叫做被积函数，f (x, y)d叫被积表达式， d 叫做面 积元素，x与y叫做积分变量，D 叫做积分区域。 评注：评注： （1）二重积分是个极限值， 因此是个数值，这个数值的大小仅与被积函数f (x, y)及 积分区域 D 有关，而与积分变量的记号无关，即有 f (x, y)d =f (u,v)d DD （2） 只有当和式极限lim 称f (x, y)在 D 上可积。 （3） 二重积分 的取法无关． 0  f (,) ii i1 n i 存在时，f (x, y)在 D 上的二重积分才存在， 也与每个小区域 f (x, y)d 与区域 D 的分法无关， D i 中的点( i , i ) 二元函数f (x, y)在 D 上满足什么条件时， 函数f (x, y)才可积呢？现在给出f (x, y)在 D 上可积的充分条件。 二重积分存在定理二重积分存在定理如果函数f (x, y)在闭区域 D 上连续，则函数f (x, y)在闭区域 D 上可 积，即二重积分存在。 今后，如不作特别声明，我们总是假定函数f (x, y)在 D 上连续，因而f (x, y)在 D 上 的二重积分总是存在的。 由二重积分的定义，可知曲顶柱体的体积V 是曲面z  f (x, y)在底 D 上的二重积分， 即 V f (x, y)d D 非均匀平面薄板的质量 M 是面密度(x, y)在薄片所占闭区域 D 上的二重积分， 即 M (x, y)d