二重积分的概念与性质

经济数学---微积分教案 第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 教学目的理解二重积分的概念，掌握二重积分的性质。 教学重点二重积分的定义及性质。 教学难点二重积分的定义、性质、 二重积分的几何意义。 教学时数2 教学内容 二重积分也是由实际问题的需要而产生的。 在一元函数积分学中我们已经知道， 定积分 是某种特定形式的和的极限， 把这种和的极限的概念推广到定义在某个区域上的二元函数的 形式，便可得到二重积分的概念。 一、二重积分的概念 引例引例 1 1 曲顶柱体的体积 设有一立体，它的底是xoy平面上的有界闭区域 D，它的侧面是以 D 的边界曲线为准 线而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z  f x, y，这里f x, y  0，且在 D 上连续 （如图所示） 。这种立体称为曲顶柱体。现在我们来讨论它的体积。 关于曲项柱体，当点x, y在区域 D 上变动时，高f x, y是个变量，因此它的体积不 能直接用体积公式来计算。不难想到，用求曲边梯形面积的方法来解这个问题。 1 分割我们用一曲线网把区域D 任意分成 n 个小区域  1 ， 2 ，，  n 小区域 i 的面积也记作 i 。以这些小区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面， 这些柱面把原来的曲项柱体分为n 个细条的小曲顶柱体。它们的体积分别记作 V 1 ，V2，，Vn 1 山 东 女 子 学 院 经济数学---微积分教案 2 近似代替对于一个小区域 i ，当直径（i最长两点的距离）很小时，由于 f x, y连续，f x, y在 i 中的变化很小，可以近似地看作常数。即若任意取点  i , i  i ，则当x, y i 时，有f x, y f  i , i ，从而以 i 为底的细条曲 顶柱体可近似地看作以f  i , i 为高的平顶柱体（如图所示）于是 V i  f  i , i  i i 1,2,3,,n 3 求和把这些细条曲顶柱体体积的近似值f  i , i  i 加起来，就得到所求的曲 顶柱体体积V的近似值，即 V V i f  i , i  i i1i1 nn 4 取极限一般地，如果区域D 分得越细，则上述和式就越接近于曲顶柱体体积V， 当把区域 D 无限细分时，即当所有小区域的最大直径 0时，则和式的极限就是所求的 曲顶柱体的体积 V，即 V  lim 引例引例 2 2 非均匀平面薄板的质量 0  f , ii i1 n i 设薄片的形状为闭区域D如图所示，其面密度是点x, y的函数，即x, y在 D 上为正的连续函数．当质量分布是均匀时，即为常数，则质量 M 等于面密度乘以薄片 的面积。当质量分布不均匀时，是随点x, y而变化，如何求质量呢我们采用与曲顶柱 体的体积相类似的方法求薄片的质量。 2 山 东 女 子 学 院 经济数学---微积分教案 1 分割把区域 D 任意分成 n 个小区域  1 ， 2 ，， n 小区域 i 的面积也记作 i 。该薄板就相应地分成 n 个小块薄板。 2 近似代替 对于一个小区域 i ， 当直径很小时， 由于x, y连续，x, y在 i 中的变化很小，可以近似地看作常数。即若任意取点 i , i  i ，则当x, y i 时， 有x, y i , i ，从而 i 上薄板的质量可近似地看作以 i , i 为面密度的均匀 薄板，于是 M i  i , i  i i 1,2,3,,n 3 求和把这些小薄板质量的近似值 i , i  i 加起来，就得到所求的整块薄板质 量的近似值，即 M M i  i , i  i i1i1 nn 4 取极限一般地，如果区域D 分得越细，则上述和式就越接近于非均匀平面薄板的 质量 M，当把区域 D 无限细分时，即当所有小区域的最大直径 0时，则和式的极限就 是所求的非均匀平面薄板的质量M，即 M  lim 0  , ii i1 n i 上面两个例子的意义虽然不同，但解决问题的方法是一样的，都归结为求二元函数的某 种和式的极限，我们抽去它们的几何或物理意义，研究它们的共性，便得二重积分的定义． 定义 设函数z  f x, y在闭区域 D 上有定义，将 D 任意分成 n 个小区域  1 ， 2 ，， n 其中 i 表示第i个小区域，也表示它的面积。在每个小区域 i 上任取一点 i , i ，作 乘积f  i , i  i i 1,2,3,,n，并作和式 3  f , ii i1 n i ，如果当各小区域的直径 山 东 女 子 学 院 经济数学---微积分教案 中的最大值趋于零时，此和式的极限存在，且极限值与区域 D 的分法无关，也与每个小 区域 i 中点 i , i 的取法无关． 则称此极限值为函数f x, y在闭区域 D 上的二重积分， 记作f x, yd，即 D f x, yd D  lim 0  f , ii i1 n i 其中叫做二重积分号，f x, y叫做被积函数，f x, yd叫被积表达式， d 叫做面 积元素，x与y叫做积分变量，D 叫做积分区域。 评注评注 （1）二重积分是个极限值， 因此是个数值，这个数值的大小仅与被积函数f x, y及 积分区域 D 有关，而与积分变量的记号无关，即有 f x, yd f u,vd DD （2） 只有当和式极限lim 称f x, y在 D 上可积。 （3） 二重积分 的取法无关． 0  f , ii i1 n i 存在时，f x, y在 D 上的二重积分才存在， 也与每个小区域 f x, yd 与区域 D 的分法无关， D i 中的点 i , i 二元函数f x, y在 D 上满足什么条件时， 函数f x, y才可积呢现在给出f x, y在 D 上可积的充分条件。 二重积分存在定理二重积分存在定理如果函数f x, y在闭区域 D 上连续，则函数f x, y在闭区域 D 上可 积，即二重积分存在。 今后，如不作特别声明，我们总是假定函数f x, y在 D 上连续，因而f x, y在 D 上 的二重积分总是存在的。 由二重积分的定义，可知曲顶柱体的体积V 是曲面z  f x, y在底 D 上的二重积分， 即 V f x, yd D 非均匀平面薄板的质量 M 是面密度x, y在薄片所占闭区域 D 上的二重积分， 即 M x, yd