论数学期望在实际生活中的运用

论数学期望在实际生活中的运用论数学期望在实际生活中的运用 数学期望代表着概念意义下的统计平均值， 客观有效地反映 了随机变量的取值分布。 作为概率论与数理统计中的重要概念之 一，数学期望如今已经成为经济统计、投资分析等领域的重要参 数，为更深入的判断与决策提供了准确的理论依据。本文梳理了 数学期望的基本概念与计算方法， 并进一步探讨期望在实际生活 中的具体运用。 1 数学期望的基本概念 1.1 离散型与连续型随机变量 生活中存在许多自然现象， 当某种现象的结果具有不确定性 和随机性，但结果的取值范围是已知的時候，我们称该现象的结 果为随机变量。例如，某一时刻经过某路口的出租车数量、未来 某一天的平均温度均是随机变量，它们都无法预知，但结果的区 间范围确是可以确定的。 需要注意的是，根据随机变量取值的分布规律，一般把随机 变量分为两种类型：离散型随机变量与连续型随机变量。当变量 的取值在一定区间内是有限的，这个变量即是离散型随机变量； 当取值在一定区间内是无限的，这个变量即是连续型随机变量。 正如上文所列举的例子， 某一时刻经过某路口的出租车数量便是 “可数”的，是离散型的随机变量；而未来某一天的平均温度虽然 1 1 / 6 6 也可以确定取值范围，但在特定的范围内的取值是 “不可数”的， 因而是连续型的随机变量。 1.2 数学期望的计算方法 类似于加权平均的方法， 数学期望即是随机变量的所有可能 取值与其对应的概率乘积之和，概率即是每项结果的“权重”。离 散型与连续型随机变量的计算方式有所不同。 对于离散型随机变量 X 来说： X 的分布律为： P{X=xk}=pk，k=1，2，3… 若级数收敛，则随机变量 X 的数学期望 E（X）即为。 对于连续型随机变量 Y 来说： Y 的概率密度函数为： f（y） ，y∈（-∞，+∞） 若级数收敛，则随机变量 Y 的数学期望 E（Y）即为。 2 数学期望在实际生活中的运用 2.1 生产决策问题 在生产经营过程中， 由于无法提前预知其他厂商的生产情况， 因而对于产量的抉择是较为盲目的。当市场供给过多时，产品价 格会下降进而侵蚀利润，同时商品积压也会增加库存成本。实际 上，企业的财务管理人员可以通过历史数据、市场信息，利用数 学期望原理进行合理估算，制定出理论上的最佳生产策略。 2 2 / 6 6 假设公司有一产品，企业的生产量制定为 Y。市场对于该产 品的需求量为 X，根据历史数据，X 服从一定的分布，概率密度 函数为 f（x） ；同时，公司可以通过内部财务数据，测算出当成 功销售一单位产品，可获利的金额 a，以及当一单位商品滞销损 失的金额 b。假设企业的生产量为 Y，毋庸置疑，企业的目标必 然是利润最大化，利润函数为： 利润的期望值 E （R） 可以根据 X 的概率密度函数进行计算。 可以看出，E（R）是关于生产量y 的函数，由此将问题转化 为求解 max[E（R）]的问题。只需求得 ymax 使得利润 E（R）的 期望值最大，ymax 即是最优的生产量。 2.2 营销问题 生活中常见到商家为了促进商品销售， 进行各式各样的营销 推广，其中一种常见形式就是“集物换礼”的促销方式。商家在每 件商品中附赠某种特定标签， 集齐全套标签即可兑换特定的礼品。 消费者为了获取礼品，增加多余消费的情况屡见不鲜。那么，如 何判断该类活动是否值得参与呢？我们利用数学期望的可以解 决这个问题。 以某实际促销方案为例，某种商品售价 10 元，每件商品中 随机附赠福卡一张，一套福卡为 5 张。若消费者集齐一套福卡， 即可兑换 88 元现金奖励。显然，在本案例中，我们首先需要计 算凑齐五张福卡所需要购买包数的数学期望 E（X） 。 3 3 / 6 6 令 E（N）为消费者已经拥有 N-1 张不同的卡片后再获取一 张新卡片所需要购买包数的数学期望。 E（1）=1； E（2）=1*0.8+2*0.2*0.8+3*0.22*0.8+4*0.23*0.8+……； E（3）=1*0.6+2*0.4*0.6+3*0.42*0.6+4*0.43*0.6+……； E（4）=1*0.4+2*0.6*0.4+3*0.62*0.4+4*0.63*0.4+……； E（5）=1*0.2+2*0.8*0.2+3*0.82*0.2+4*0.83*0.2+……； 可以看出，上述五个式子均是差比数列，可以利用差比数列 的求和方法求出具体值。则： E（X）=E（1）+E（2）+E（3）+E（4）+E（5） =1+=11.42 对于单个消费者来说， 集齐五张福卡后的获利值的数学期望 为： E（88-10X）=88-10*E（X）=-26.2 可见，单个消费者集卡兑换的期望收益为负，因此为了礼品 盲目购买的行为是不可取的。 2.3 赌局问题 生活中， 我们常常会看到有人街边设置赌局， 利用转盘抽奖、 象棋残局等为道具，吸引路人参与，最终使得多人上当受骗。本 文将利用数学期望的，解开街头赌局背后的秘密。 依然以某实际赌局为例。该赌局采用轮盘抽奖的形式，轮盘 4 4 / 6 6 上有编码为 1-10 的十个区域与均匀转动的指针，参与者进行随 机摇动指针，若摇中 1-4 游戏结束，摇到 5 可以获得 20 元，摇 到 6-10 可以免费再摇一次。游戏每次的参与费为 5 元，请问游 戏设计是否公平？ 可以发现，当缴纳一次游戏费后，最终会出现两种结果：结 束游戏（奖金为 0）和获得 20 元奖金。我们只需求得获利的期 望，即可判断游戏的公平性。 获得 20 元奖金的概率为： p（x1）=**+……== 没有获得奖金的概率为： p（x2）=1-p（x1）= 则获取奖金数额的期望 E（X）为： E（X）=20*p（x1）+0*p（x2）=4 因而对于单个消费者来说，获利值的数学期望为： E（X-5）=E（X）-5=-1 可以看到，获利值的数学期望为负数。对于任何一个赌博游 戏来说，若参与者的获利期望值为负数，则这个游戏设计对于参 与者是“不公平”的。因而该游戏不值得参与。 3 结语 通过上述案例分析可以看到，数学期望为企业决策、投资决 策乃至生活中的概率问题都提供了客观理性的评判参数。 当今社 5 5 / 6 6 会是一个充斥着海量与复杂结构的综合体， 这使得未知事件的不 确定性进一步增强，而有效地利用概率论中数学期望的概念，能 够为各项经济工作提供理论指导，避免无谓的损失。 6 6 / 6 6