4角平分线的性质

1.41.4角平分线的性质角平分线的性质 第第 1 1 课时课时角平分线的性质角平分线的性质 要点感知要点感知角平分线的性质定理：角的平分线上的点到__________的距离相等. 预习练习预习练习已知 AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，且 DE=3 cm，则点 D 到 AC 的距离是() A.2 cmB.3 cmC.4 .6 cm 知识点知识点角平分线的性质角平分线的性质 1. 1.△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，BC=8，BD=5，则点 D 到 AB 的距离等于() A.5B.4C.3D.2 2. 2.如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON 于点 A，点 Q 是射线 OM 上的一个动点，若PA=2，则 PQ 的最小值为() A.1B.2C.3D.4 3. 3.如图，P 是∠AOB 的平分线 OC 上一点(不与 O 重合)，过 P 分别向角的两边作垂线 PD，PE，垂足是 D，E，连接 DE， 那么图中全等的直角三角形共有() A.3 对B.2 对C.1 对D.没有 4. 4.已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，且 AB∶AC=3∶2，则△ABD 与△ACD 的面积之比为__________. 5. 5.如图，已知 BD 是∠ABC 的内角平分线，CD 是∠ACB 的外角平分线，由 D 出发，作点 D 到 BC，AC 和 AB 的垂线 DE，DF 和 DG，垂足分别为 E，F，G，则 DE，DF，DG 的关系是__________. 6. 6.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BE 是∠ABC 的平分线，ED⊥AB 于 D，ED=3，AE=5，则 AC=__________. 7. 7.如图，已知 CE⊥AB 于点 E，BD⊥AC 于点 D，BD,CE交于点 O 且 AO 平分∠BAC. 求证：OB=OC. 8. 8.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，点 D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F. 求证：∠B=∠C. 9. 9.如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=1，AB=2，BD 是∠ABC 的平分线，设△ABD，△BCD 的面积分别为 S1、S2，则S1∶ S2等于() A.2∶1B. 2∶1 C.3∶2D.2∶ 3 10.10.如图，∠AOB=30°，OP 平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果 PC=6，那么 PD 等于() A.4B.3C.2D.1 11.11.如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 交 AC 于点 F.S△ ABC=7，DE=2，AB=4，则 AC 的长 是() A.3B.4C.5D.6 12.12.如图所示，若 AB∥CD，AP、CP 分别平分∠BAC 和∠ACD，PE⊥AC 于 E，且 PE=3 cm，则 AB 与 CD 之间的距离为 () A.3 cmB.6 cmC.9 .无法确定 13.13.如图，在△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC，交AC 于点 D，AC=8 cm，且CD∶AD=1∶3，则点D 到 AB 的距离 为__________cm. 14.14.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点.如图， P 是△ABC 的内角平分线的交点， 已知 P 点到 AB 边的距离为 1，△ABC 的周长为 10，则△ABC 的面积为__________. 15.15.已知：在等腰 Rt△ABC 中，AC=BC，∠C=90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E，求证：BD+DE=AC. 16.16.已知：如图所示，△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD=DF.求证：CF=EB. 17.17.如图，△ABC 中，若 AD 平分∠BAC，过 D 点作 DE⊥AB，DF⊥AC，分别交 AB,AC 于 E,F 两点.求证：AD⊥EF. 挑战自我挑战自我 18.18.如图，△ABC 中，D 为 BC 的中点，DE⊥BC 交∠BAC 的平分线于 E，EF⊥AB，交 AB 于 F，EG⊥AC，交 AC 的延长 线于 G，试问：BF 与 CG 的大小如何？证明你的结论. 参考答案参考答案 课前预习课前预习 要点感知要点感知角的两边 预习练习预习练习B 当堂训练当堂训练 1. 1.C2. 2.B3. 3.A4. 4.3∶25. 5.DE=DF=DG6. 6.8 7. 7.证明：∵AO 平分∠BAC，CE⊥AB 于点 E，BD⊥AC 于点 D， ∴OE=OD. 在 Rt△OBE 和 Rt△OCD 中，∠EOB=∠DOC，∠BEO=∠CDO=90°， ∴△OBE≌△OCD(ASA). ∴OB=OC. 8. 8.证明：∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°. ∵D 是 BC 的中点， ∴BD=CD. 在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，DE=DF，DB=DC， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL). ∴∠B=∠C. 课后作业课后作业 9. 9.A10.10.B11.11.A12.12.B13.13.214.14.5 15.15.证明：∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°， ∴CD=DE. ∴BC=BD+CD=BD+DE. ∵AC=BC， ∴AC=BD+DE. 16.16.证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于 E，DC⊥AC 于 C， ∴DE=DC. 又∵BD=DF， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL). ∴CF=EB. 17.17.证明：∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°. ∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°， ∴∠EDA=∠FDA. ∴AD⊥EF. 18.18.相等. 证明：连接 EB，EC. ∵AE 是∠BAC 的平分线，EF⊥AB，EG⊥AC， ∴EF=EG. ∵ED⊥BC 于 D，D 是 BC 的中点， ∴EB=EC. ∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL). ∴BF=CG. 第第 2 2 课时课时角平分线的判定角平分线的判定 要点感知要点感知角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在__________上. 预习练习预习练习如图，P 是∠MON 内一点，PE⊥OM 于点 E，PF⊥ON 于点 F，若 PE=PF，则 OP 平分∠MON，其依据是 ____________________. 知识点知识点角平分线的判定角平分线的判定 1. 1.如图，点 D 在 BC 上，DE⊥AB，DF⊥AC，且 DE=DF，∠BAD=25°，则∠CAD=() A.20°B.25°C.30°D.50° 2. 2.如图，在 CD 上求一点 P，使它到 OA，OB 的距离相等，则 P 点是() A.线段 CD 的中点 B.OA 与 OB 的中垂线的交点 C.OA 与 CD 的中垂线的交点 D.CD 与∠AOB 的平分线的交点 3. 3.如图，已知点 P 在射线