新1第十一章 曲线积分与曲面积分习题答案

第十一章第十一章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 1. 选择题： (1) 对弧长的曲线积分的计算公式   L f (x, y)ds    f[(t),(t)]2(t)2(t)dt中要 求（C） . （A）  （B）  （C）  (2) 设光滑曲线L的弧长为，则 L 6ds （B） . （A）  （ B）6（C）12 2.计算下列对弧长的曲线积分： (1)(x  y)ds，其中L为 L I） 以O(0,0)，A(1,0),B(1,1)为顶点的三角形的边界； II）上半圆周x2 y2 R2； 解：I） (x y)ds (x y)ds(x y)ds (x y)ds LOAABBO 1xdx1(1 y)dy 1 000 2 2xdx  1 2  3 2 2  22 II） (x y)ds   (Rcost  Rsint) (x)2(y)2 L  0 dt  R2[sint cost] 2 0  2R (2)yds，其中L为y2 2x上点(2,2)与点(1,－ 2)之间的一段弧； L 解： yds  2 1(x)2dy  L  2 y 2  2 y 1 y2dy  1 [(1 y2 3 )3/2]2  2  1 3 ( 125 27) *(3) (x2 y2)ds，其中 为螺旋线x  acost, y  asint,z  bt；  (0  t  2) 22 2 222222 1/2 解： (x  y )ds  0 a (a sin t a cos t b )dt  2 0 a2a2b2dt  2a2a2b2 *(4) x2 y2ds，其中L为x2 y2 2y； L 解：L 的极坐标方程为r  2sin， 2，则 ds r2(r)2d。 x2 y2ds  2 (r)2d L r r2 2  r 4sin24cos2d  22  2rd 4  sind8 第二节第二节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 1．填空题 (1) 对坐标的曲线积分的计算公式   L P(x, y)dx Q(x, y)dy=  {P[(t),(t)](t) Q[(t),(t)](t)}dt 中，下限对应于L的始点，上限对应于L的终点； (2) 第二类曲线积分 L P(x, y)dx Q(x, y)dy化为第一类曲线积分是  L [P(x, y)cosdxQ(x, y)cos]ds ，其中,为有向光滑曲 线L在点(x, y)处的切向量的方向角. 2．选择题： (1) 对坐标的曲线积分与曲线的方向（B） （A）无关，（B）有关； (2)若P(x, y)，Q(x, y)在有向光滑曲线L上连续，则（A） （A）  L P(x, y)dx Q(x, y)dy L P(x, y)dx Q(x, y)dy， （B） L P(x, y)dx Q(x, y)dy L P(x, y)dx Q(x, y)dy. 3．计算下列对坐标的曲线积分： (1)(x2 y2)dx，其中L为从点A(0,0)经上半圆周(x 1)2 y21 L (y  0)到点B(1,1)的一段弧； 解：L的方程为 y21(x1)2 ，x:0 1，则 (x2 y2)dx  1[x2 1(x1)2] 1 L  0  0 2xdx 1 (2) xdy ydx，其中L为y  x2上从点B(1,1)到点A(1,1)的一段弧； L 解：xdy  ydx  1 2 1 2 L 1 xg2xdx x dx x dx   2 1 3 。 (3) 22 L x ydx  y3xdy，其中L为y x与x 1所围成区域的整个边界 （按逆时针方向绕行） ； 解：L y2 1 : x , y:1 1,L 2 : x 1,y:11, 则  L x2ydx y3xdy x2ydx y3xdyx2ydx y3xdy L  1 L2   1 1 (y5g2y y5)dy 1 1 1 y3dy  1 2y6dy   4 7 *(4)y2dx xydy zxdz，其中为从点O(0,0,0)到点C(1， 1， 1)，沿着  I） 直线段； II） 有向折线OABC， 这里的O、A、B、C依次为点(0,0,0)、 (1,0,0)、(1， 1， 0)、(1， 1， 1)； x  t 解：I）的参数方程为  y t，0t 1，则  z t 原式= 1 0 (t2t2t2)dt 1 II）OA:   x t x 1 y  z  0 ,0t 1; AB:  y t,0t 1;  z  0 x  BC:  1 y 1.0t 1.  z t 原式= OA y2dx xydy zxdz  0 AB  BC 1tdt 1 00 tdt 1 第五节第五节对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 1. 选择题 (1) 对坐标的曲面积分与曲面的方向（B） （A）无关（B）有关 (2) 已知R(x, y,z)dxdy存在，则  R(x, y,z)dxdy+)dxdy （A）  R(x, y,z  （A）0（B）2R(x, y,z)dxdy  2. 计算下列对坐标的曲面积分： (1) (x2 y2)zdxdy，其中为曲面z 1 x2 y2在第一卦限部分的  上侧. 解：由   z 1 x2 y2  z  0 知，在 xoy 面的投影区域为： D xy {(x, y)|0  y  1 x2,0  x 1}{(r,)|0  r 1,0   2 }， 原式=(x2 y2)(1 x2 y2)dxdy Dxy  2 0 d1  0 r2(1r2)rdr ( 1  1) 2 46  24 (2)(x＋1)dydz  ydzdx dxdy，其中为x  y  z 1在第一卦限的  部分且取法线的方向与 z 轴的夹角为锐角. 解：由已知得，平面与 x,y 轴的夹角也为锐角，在三坐标面上的投影为 等腰直角三角形，故 原式=1 1y 0 dy 0 (2 y z)dz 1 1x 0 dx 0 (1 x z)dz 1dx1x 00 dy  4 3 。 *3．把xdydz ydzdx(x  z)dxdy化为对面积的曲面积分，其中为  平面2x  2y  z  2第一卦限部分的上侧. 解：因取上侧，故法向量