新1第十一章 曲线积分与曲面积分习题答案

第十一章第十一章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 1. 选择题 1 对弧长的曲线积分的计算公式   L f x, yds    f[t,t]2t2tdt中要 求（C） . （A）  （B）  （C）  2 设光滑曲线L的弧长为，则 L 6ds （B） . （A）  （ B）6（C）12 2.计算下列对弧长的曲线积分 1x  yds，其中L为 L I） 以O0,0，A1,0,B1,1为顶点的三角形的边界； II）上半圆周x2 y2 R2； 解I） x yds x ydsx yds x yds LOAABBO 1xdx11 ydy 1 000 2 2xdx  1 2  3 2 2  22 II） x yds   Rcost  Rsint x2y2 L  0 dt  R2[sint cost] 2 0  2R 2yds，其中L为y2 2x上点2,2与点1,－ 2之间的一段弧； L 解 yds  2 1x2dy  L  2 y 2  2 y 1 y2dy  1 [1 y2 3 3/2]2  2  1 3 125 27 *3 x2 y2ds，其中 为螺旋线x  acost, y  asint,z  bt；  0  t  2 22 2 222222 1/2 解 x  y ds  0 a a sin t a cos t b dt  2 0 a2a2b2dt  2a2a2b2 *4 x2 y2ds，其中L为x2 y2 2y； L 解L 的极坐标方程为r  2sin， 2，则 ds r2r2d。 x2 y2ds  2 r2d L r r2 2  r 4sin24cos2d  22  2rd 4  sind8 第二节第二节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 1．填空题 1 对坐标的曲线积分的计算公式   L Px, ydx Qx, ydy  {P[t,t]t Q[t,t]t}dt 中，下限对应于L的始点，上限对应于L的终点； 2 第二类曲线积分 L Px, ydx Qx, ydy化为第一类曲线积分是  L [Px, ycosdxQx, ycos]ds ，其中,为有向光滑曲 线L在点x, y处的切向量的方向角. 2．选择题 1 对坐标的曲线积分与曲线的方向（B） （A）无关，（B）有关； 2若Px, y，Qx, y在有向光滑曲线L上连续，则（A） （A）  L Px, ydx Qx, ydy L Px, ydx Qx, ydy， （B） L Px, ydx Qx, ydy L Px, ydx Qx, ydy. 3．计算下列对坐标的曲线积分 1x2 y2dx，其中L为从点A0,0经上半圆周x 12 y21 L y  0到点B1,1的一段弧； 解L的方程为 y21x12 ，x0 1，则 x2 y2dx  1[x2 1x12] 1 L  0  0 2xdx 1 2 xdy ydx，其中L为y  x2上从点B1,1到点A1,1的一段弧； L 解xdy  ydx  1 2 1 2 L 1 xg2xdx x dx x dx   2 1 3 。 3 22 L x ydx  y3xdy，其中L为y x与x 1所围成区域的整个边界 （按逆时针方向绕行） ； 解L y2 1 x , y1 1,L 2 x 1,y11, 则  L x2ydx y3xdy x2ydx y3xdyx2ydx y3xdy L  1 L2   1 1 y5g2y y5dy 1 1 1 y3dy  1 2y6dy   4 7 *4y2dx xydy zxdz，其中为从点O0,0,0到点C1， 1， 1，沿着  I） 直线段； II） 有向折线OABC， 这里的O、A、B、C依次为点0,0,0、 1,0,0、1， 1， 0、1， 1， 1； x  t 解I）的参数方程为  y t，0t 1，则  z t 原式 1 0 t2t2t2dt 1 II）OA   x t x 1 y  z  0 ,0t 1; AB  y t,0t 1;  z  0 x  BC  1 y 1.0t 1.  z t 原式 OA y2dx xydy zxdz  0 AB  BC 1tdt 1 00 tdt 1 第五节第五节对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 1. 选择题 1 对坐标的曲面积分与曲面的方向（B） （A）无关（B）有关 2 已知Rx, y,zdxdy存在，则  Rx, y,zdxdydxdy （A）  Rx, y,z  （A）0（B）2Rx, y,zdxdy  2. 计算下列对坐标的曲面积分 1 x2 y2zdxdy，其中为曲面z 1 x2 y2在第一卦限部分的  上侧. 解由   z 1 x2 y2  z  0 知，在 xoy 面的投影区域为 D xy {x, y|0  y  1 x2,0  x 1}{r,|0  r 1,0   2 }， 原式x2 y21 x2 y2dxdy Dxy  2 0 d1  0 r21r2rdr  1  1 2 46  24 2x＋1dydz  ydzdx dxdy，其中为x  y  z 1在第一卦限的  部分且取法线的方向与 z 轴的夹角为锐角. 解由已知得，平面与 x,y 轴的夹角也为锐角，在三坐标面上的投影为 等腰直角三角形，故 原式1 1y 0 dy 0 2 y zdz 1 1x 0 dx 0 1 x zdz 1dx1x 00 dy  4 3 。 *3．把xdydz ydzdxx  zdxdy化为对面积的曲面积分，其中为  平面2x  2y  z  2第一卦限部分的上侧. 解因取上侧，故法向量