数列新定义专题(可编辑修改word版)
课题：基于数列的新定义相关题型课题：基于数列的新定义相关题型 数列中新定义题型在近几年来算是高考中的热门考点，通常情况下会结合之前所学的函数、 三角等来考察学生对相关知识的融会贯通情况，该类题型要求学生对之前所学的知识掌握要扎 实，并能运用连贯，并且对于数列之前所学的相关性质也要掌握扎实，同时也会引入其他新知识 点。 基本要求：学生对函数及三角的相关性质要掌握熟练，其次对于数列的项数与各项的关系基本要求：学生对函数及三角的相关性质要掌握熟练，其次对于数列的项数与各项的关系 等要能熟练掌握。等要能熟练掌握。 1 1、数列与函数相结合、数列与函数相结合 1 1）） 与二次函数相结合与二次函数相结合 例：在直角坐标平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),P3(a3,b3),……,Pn(an,bn),……,对每一个自然 数 n,点 Pn(an,bn)在函数 y=x2 的图象上，且点 Pn(an,bn),点 A(n,0),点 B(n+1,0)，构成一个以 点 Pn(an,bn)为顶点的等腰三角形。 （1）求对每一个自然数n，以点 Pn纵坐标构成的数列bn的通项公式； （2）令，求的值。 2 2））与指数函数相结合与指数函数相结合 例：在xOy 平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),P3(a3,b3),……,Pn(an,bn),……对每一个自然数n， 点 Pn(an,bn)在函数 y= Pn(an,bn )， 的图象上， 且点点(n,0)与点(n+1,0) 构成一个以点 Pn(an,bn)为顶点的等腰三角形。 （1）求点 Pn(an, bn)的纵坐标 bn的表达式； （2）若对每一个自然数n, 以 bn, bn+1, bn+2为边长能构成一个三角形，求a 的范围； （3）设 Bn=b1b2b3……bn(n∈N+)，若a 是(2)中确定的范围内的最小整数时，求{Bn}的最大项是第几项？ 3 3））数列与对数函数相结合数列与对数函数相结合 例：已知函数, （ 1） n=1,2,3,……时，把已知函数的图像和直线 y=1 的交点横坐标依次记为a1,a2,a3，……， an,……。 求证：a1+a2+a3+……+an1; （ 2）对于每一个n 值，设An,Bn为已知函数图像上与x 轴距离为1 的两点，求证n 取任 意一个正整数时，以AnBn为直径的圆都与一条定直线相切，求出这条定直线的方程和切 点坐标。 4 4））数列与分段函数相结合数列与分段函数相结合 例：设函数 y=f(x)的图像是自原点出发的一条折线。当 n≤y≤n+1(n=0,1,2,……)时，该图像 是斜率为 bn的线段（其中正常数 b≠1） 。设数列{xn}由 f(xn)=n(n=1,2,3,……)定义。 （1）求 x1, x2和 xn的表达式； （2）求 f(x)的表达式，并写出定义域。 5 5））数列与反函数相结合数列与反函数相结合 f(x)=例：已知函数(x≥2)的反函数为 y=f-1(x)，若数列{an}的前 n 项之和为 Sn(n∈ N+)。对所有大于1的自然数n都有Sn=f-1(Sn-1)，且 a1=2，求数列{an}的通项公式。 2 2、数列与三角相结合、数列与三角相结合 把三角函数融入到数列当中，使得数列变得复杂和陌生，但由于三角函数的周期性，也使得 数列的项随之有了规律，因此在解决此类问题时，要充分利用三角函数周期性的特点，只有 这样才能将所遇困难有效化解. 例：数列{a }的通项公式a n cos nn n 2 ，其前n项和为S ，则S等于多少？ n2016 例：S sin n sin 7 2 7 sin n 7 N)，则在S，S，…，S 中，正数的个数 (n 12100 是多少？ n n 例：数列{a }的通项公式a n2(cos2 （Ⅰ）求S；（Ⅱ）令b S 3n nn n ，其前n项和为S. ) n 33 ，求数列{b }的前n项和T. n sin2 nn n 4n 3 3、其他新定义题型、其他新定义题型 这类题型通常会引入一些学生未学过的知识点，预设相关前提条件，再引出问题，该类题型 重点在于审题，对相关题目所涉及的知识点需要牢牢把握。 例：若数列 a n 满足 1 d （n N,d为常数）, 则称数列an 为调和数列。已 a an1 n x 200，则x x 220516 1 知数列 1 为调和数列，且 x x 1 x n . 例：定义：称 n P P P 12n n个正数P,P ,,P 的“均倒数”为。若数列a 12n 的前 n n 项的“均倒数”为 1 ，则数列 a的通项公式为 n . 2n1 例：有限数列A （a1,a2,an） Sn 为其前n项和， 定义 ， S 1 S 2 S n n 为 A 的“凯森和”， 如 有 500 项 的 数 列 (a1,a2 ,,a500 )的 “ 凯森 和 ” 为2004， 则 有 501 项 的 数 列 (2,a1,a2,,a500)的“凯森和”为 . 例：定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么 这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。 a18的值为a 1 2，公和为 5，那么 已知数列an是等和数列，且，这个数 21 项和S21为列的前 . 例：在数列 a 中，对任意n N都有 n a n2 a n1 a n1 a n k （k为常数） ，则称数列 a 为 n 0；②等差数列一定是等差比数 “等差比数列”.下面对 “等差比数列” 的判断 ：①k不可能为 b 0,1）的数an a bn c（ 列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为 a 0， 0，其中正确的是 列一定是等差比数列；⑤等差比数列中可以有无数项为. a n对任意的正整数n， 都 有an a n1 d （例 ： 定 义 ： 若 数 列 d是常数） ，则称 a n 为“绝对 和数列”，d叫做“绝对公和”。已知“绝对和数列” an中，a 1 2，“绝对公和” S 2010 的最小值为 d 2，则其前2010项和. n 例：设Sn是数列 a n 的前 项和，若 等比数列”。 b 2，公比为 4 的等比数列，则数列 bn （1）若数列 2 n 是首项为 S 2n S n （n N）是非零常数，则称数列a为“和 n （填“是” 或“不是” ） “和等比数列”. d 0）的等差数列，且数列cn是“和等比 （2）若数列 c n 是首项为c1，公差为d（ 数列” ，则d与c1之间满足的关系为. 22 “等例 ： 在数列a若a p 2,nN，p为常数） ， 则称数列a nn 中， n a n p（ 1 为 方差数列” 。 下列是对 “等方差数列”的判断 ：①若a 则 a n 2 ；② n是等方差数列， 是等差数列 (1) n是等方差数列；
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