二维形式的柯西不等式一

第一课时第一课时3.1二维形式的柯西不等式（一） 教学要求教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不 等式及向量形式. 教学重点教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点教学难点：理解几何意义. 教学过程教学过程： 一、复习准备一、复习准备： 1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？ ab ab (a 0,b 0)及几种变式. 2 2. 练习：已知 a、b、c、d 为实数，求证(a2b2)(c2 d2)  (ac bd)2 答案： 证法： （比较法）(a2b2)(c2 d2)(ac bd)2=….=(ad bc)2 0 二、讲授新课：二、讲授新课： 1. 1. 教学柯西不等式：教学柯西不等式： ① 提出定理 1：若 a、b、c、d 为实数，则(a2b2)(c2 d2)  (ac bd)2. → 即二维形式的柯西不等式→ 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二： （综合法）(a2b2)(c2 d2)  a2c2 a2d2b2c2b2d2  (ac bd)2(ad bc)2 (ac bd)2.（要点：展开→配方） u rru rr 证法三： （向量法）设向量m  (a,b)，n  (c,d)，则|m|a2b2，|n|c2d2. u r ru rru r ru r ru rru r r |n|gcos  m,n ，则|mgn||m|g |n|.∴ …∵m•n  ac bd，且mgn |m|g 证法四： （函数法）设f (x)  (a2b2)x22(ac bd)x c2 d2，则 f (x)  (ax c)2(bx d)2≥0 恒成立. ∴ [2(ac bd)]24(a2b2)(c2 d2)≤0，即… ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？ 变式：a2b2g c2d2|acbd |或a2b2g c2d2|ac||bd | 或a2b2g c2 d2 ac bd. u r u ru r u ru r u r ④ 提出定理 2：设,是两个向量，则|g|||||. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） u ru r u r → 讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者,共线） ⑤ 练习：已知 a、b、c、d 为实数，求证a2b2c2d2(ac)2(bd)2. 证法： （分析法）平方 → 应用柯西不等式→ 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 2. 教学三角不等式：教学三角不等式： ① 出示定理 3：设x 1,y1,x2 ,y 2 R，则x 1 2 y 1 2x 2 2 y 2 2(x 1  x 2 )2(y 1  y 2 )2. 分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若x 1, y1,x2 , y 2 ,x 3 , y 3 R，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 3. 小结：小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 三、巩固练习：三、巩固练习： 1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2. 作业：教材 P374、5 题. 1 第二课时第二课时3.1二维形式的柯西不等式（二） 教学要求教学要求： 会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题， 体会运用经典不等式的一般方法 ——发现具体问题与经典不等式之间的关系， 经过适当变形， 依据经典不等式得到不等关系. 教学重点教学重点：利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式. 教学过程教学过程： 一、复习准备一、复习准备： 1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？ 答案：(a2b2)(c2 d2)  (acbd)2；x 1 2 y 1 2x 2 2 y 2 2(x 1  x 2 )2(y 1  y 2 )2 2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？ 3. 如何利用二维柯西不等式求函数y x 12 x的最大值? 要点：利用变式|acbd |a2b2g c2d2. 二、讲授新课：二、讲授新课： 1. 1. 教学最大（小）值：教学最大（小）值： ① 出示例 1：求函数y  3 x 1 102x的最大值？ 分析：如何变形？→ 构造柯西不等式的形式→ 板演 y 3x 1 10 2x→变式：→推广： y  a bx  c  de  fx,(a,b,c,d,e, f R) ② 练习：已知3x  2y 1，求x2 y2的最小值. 1 2 11 (x  y2)(3222) (3x2y)2. 131313 讨论：其它方法 （数形结合法） 2. 2. 教学不等式的证明：教学不等式的证明： 11 ① 出示例 2：若x,yR  ，x y  2，求证： 2. xy 分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造） 1111111 2 1 2) () ]… 要点：(x  y)() [( x)2(y)2][( xy2xy2xy 讨论：其它证法（利用基本不等式） 11 ② 练习：已知a、bR  ，求证：(ab)()  4. ab 3. 3. 练习练习： ab ① 已知x, y,a,bR，且1，则x y的最小值. xy ab 要点：x  y  ()(x  y) ….→ 其它证法 xy 解答要点： （凑配法）x2 y2 ② 若x,y,zR，且x y  z 1，求x2 y2 z2的最小值.（要点：利用三维柯西不等 式） 变式：若x,y,zR  ，且x y  z 1，求x y z的最大值. 3. 3. 小结：小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧. 三、巩固练习：三、巩固练习： 2 1. 练习：教材 P378、9 题2. 作业：教材 P371、6、7 题 第三课时第三课时3.2一般形式的柯西不等式 教学要求教学要求：认识一般形式的柯西不等式， 会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式， 并 应用其解决一些不等式的问题. 教学重点教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程教学过程： 一、复习准备一、复习准备： 1. 练习： 2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？ 答案：(a2b2)(c2 d2)  (acbd)2；(a2b2c2)(d2e2 f 2)  (ad becf )2 二、讲授新课：二、讲授新课： 1. 1. 教学一般形式的柯西不等式：教学一般形式的柯西不等式： u r u ru r u r ① 提问：由平面向量的柯西不等式|g|||||，如果得到空间向量的柯西不等式及代数 形式？ ② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等