二维形式的柯西不等式一

第一课时第一课时3.1二维形式的柯西不等式（一） 教学要求教学要求认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不 等式及向量形式. 教学重点教学重点会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点教学难点理解几何意义. 教学过程教学过程 一、复习准备一、复习准备 1. 提问 二元均值不等式有哪几种形式 ab ab a 0,b 0及几种变式. 2 2. 练习已知 a、b、c、d 为实数，求证a2b2c2 d2  ac bd2 答案 证法 （比较法）a2b2c2 d2ac bd2.ad bc2 0 二、讲授新课二、讲授新课 1. 1. 教学柯西不等式教学柯西不等式 ① 提出定理 1若 a、b、c、d 为实数，则a2b2c2 d2  ac bd2. → 即二维形式的柯西不等式→ 什么时候取等号 ② 讨论二维形式的柯西不等式的其它证明方法 证法二 （综合法）a2b2c2 d2  a2c2 a2d2b2c2b2d2  ac bd2ad bc2 ac bd2.（要点展开→配方） u rru rr 证法三 （向量法）设向量m  a,b，n  c,d，则|m|a2b2，|n|c2d2. u r ru rru r ru r ru rru r r |n|gcos  m,n ，则|mgn||m|g |n|.∴ ∵mn  ac bd，且mgn |m|g 证法四 （函数法）设f x  a2b2x22ac bdx c2 d2，则 f x  ax c2bx d2≥0 恒成立. ∴ [2ac bd]24a2b2c2 d2≤0，即 ③ 讨论二维形式的柯西不等式的一些变式 变式a2b2g c2d2|acbd |或a2b2g c2d2|ac||bd | 或a2b2g c2 d2 ac bd. u r u ru r u ru r u r ④ 提出定理 2设,是两个向量，则|g|||||. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） u ru r u r → 讨论上面时候等号成立（是零向量，或者,共线） ⑤ 练习已知 a、b、c、d 为实数，求证a2b2c2d2ac2bd2. 证法 （分析法）平方 → 应用柯西不等式→ 讨论其几何意义（构造三角形） 2. 2. 教学三角不等式教学三角不等式 ① 出示定理 3设x 1,y1,x2 ,y 2 R，则x 1 2 y 1 2x 2 2 y 2 2x 1  x 2 2y 1  y 2 2. 分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式若x 1, y1,x2 , y 2 ,x 3 , y 3 R，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式 3. 3. 小结小结二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 三、巩固练习三、巩固练习 1. 练习试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2. 作业教材 P374、5 题. 1 第二课时第二课时3.1二维形式的柯西不等式（二） 教学要求教学要求 会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题， 体会运用经典不等式的一般方法 发现具体问题与经典不等式之间的关系， 经过适当变形， 依据经典不等式得到不等关系. 教学重点教学重点利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点教学难点如何变形，套用已知不等式的形式. 教学过程教学过程 一、复习准备一、复习准备 1. 提问二维形式的柯西不等式、三角不等式 几何意义 答案a2b2c2 d2  acbd2；x 1 2 y 1 2x 2 2 y 2 2x 1  x 2 2y 1  y 2 2 2. 讨论如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维 3. 如何利用二维柯西不等式求函数y x 12 x的最大值 要点利用变式|acbd |a2b2g c2d2. 二、讲授新课二、讲授新课 1. 1. 教学最大（小）值教学最大（小）值 ① 出示例 1求函数y  3 x 1 102x的最大值 分析如何变形→ 构造柯西不等式的形式→ 板演 y 3x 1 10 2x→变式→推广 y  a bx  c  de  fx,a,b,c,d,e, f R ② 练习已知3x  2y 1，求x2 y2的最小值. 1 2 11 x  y23222 3x2y2. 131313 讨论其它方法 （数形结合法） 2. 2. 教学不等式的证明教学不等式的证明 11 ① 出示例 2若x,yR  ，x y  2，求证 2. xy 分析如何变形后利用柯西不等式 （注意对比 → 构造） 1111111 2 1 2  ] 要点x  y [ x2y2][ xy2xy2xy 讨论其它证法（利用基本不等式） 11 ② 练习已知a、bR  ，求证ab  4. ab 3. 3. 练习练习 ab ① 已知x, y,a,bR，且1，则x y的最小值. xy ab 要点x  y  x  y .→ 其它证法 xy 解答要点 （凑配法）x2 y2 ② 若x,y,zR，且x y  z 1，求x2 y2 z2的最小值.（要点利用三维柯西不等 式） 变式若x,y,zR  ，且x y  z 1，求x y z的最大值. 3. 3. 小结小结比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧. 三、巩固练习三、巩固练习 2 1. 练习教材 P378、9 题2. 作业教材 P371、6、7 题 第三课时第三课时3.2一般形式的柯西不等式 教学要求教学要求认识一般形式的柯西不等式， 会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式， 并 应用其解决一些不等式的问题. 教学重点教学重点会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点教学难点理解证明中的函数思想. 教学过程教学过程 一、复习准备一、复习准备 1. 练习 2. 提问二维形式的柯西不等式如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维 答案a2b2c2 d2  acbd2；a2b2c2d2e2 f 2  ad becf 2 二、讲授新课二、讲授新课 1. 1. 教学一般形式的柯西不等式教学一般形式的柯西不等式 u r u ru r u r ① 提问由平面向量的柯西不等式|g|||||，如果得到空间向量的柯西不等式及代数 形式 ② 猜想n 维向量的坐标n 维向量的柯西不等