二项分布经典例题+练习题教学内容

二项分布经典例题+练 习题 二项分布 1． n 次独立重复试验 一般地，由 n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每 次试 验的结果仅有两种对立的状态，即 A 与 A ，每次试验中 P(A) p 0 我们将这样的试验称为 n 次独立重复试验，也称为伯 努利试验。 (1) 独立重复试验满足的条件 第一：每次试验是在同样条 件下 进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三： 每次试验 都只有两种结果。 (2) n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 k k n k P(X k) C n kpk(1 p)n k。 2．二项分布 若随机变量 X 的分布列为 P(X k) Cnk kn kp q ，其中 0 p 1.p q 1,k 0,1,2L, ,n,则称X 服从参数为 n, p 的二项分布，记 作 X : B(n,p)。 1．一盒零件中有 9 个正品和 3 个次品，每次取一个零件，如 果取出 的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数 X 的概率分布。 3. 甲乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为， 乙每次 2 击中目标 的概率为. 1 2 3 (1)记甲击中目标的此时为 ，求 的分布列及数学期望； (2)求乙至多击中目标 2 次的概率； (3)求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率 . 【巩固练习】 1.(2012 年高考(浙江理)) 已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑 球 , 且规定 : 取出一个白球的 2 分, 取出一个黑球的 1 分. 现从该箱中 任取( 无放回 , 且每球取到的机会均 等 )3 个球, 记随机变量X为 取出 3 球所得分数之和 . ( Ⅰ) 求X的分布列 ; ( Ⅱ) 求X的数学期望E(X). 2．(2012 年高考(重庆理)) ( 本小题满分 13 分,( Ⅰ) 小问 5 分,( Ⅱ) 小问 8 分.) 甲、乙两人轮流投篮 , 每人每次投一球 ,. 约定甲先投且先投 中者 获胜, 一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束 . 设甲每 次投篮投中的概率为, 乙每次投篮投中的概率为 , 且各次投篮 32 互不影响 . 1 1 ( Ⅰ) 求甲获胜的概率 ; ( Ⅱ ) 求投篮结束时甲的投篮次数 的分布列与期望 3．设篮球队 A 与 B 进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有 一队 胜 4 场则比赛宣告结束，假定 A,B 在每场比赛中获胜 的概率都是，试求需要比赛场数的期望． 1 2 3．(2012 年高考(辽宁理)) 电视传媒公司为了了解某地区电视 观众对某类体育节目的收视情况 , 随机抽取了 100 名观众 进行调 查 . 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体 育节目时间的 频率分布直方图 ; 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为 “体育迷”. ( Ⅰ) 根据已知条件完成下面的 2 2 列联表 , 并据此资料你是否认 为“体育迷”与性别 有关? （Ⅱ） 将上述调查所得到的频率视为概率 . 现在从该地区 大量电视 观众中 ,采用随机抽 样方法每次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观 众中的 “体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立 的 , 求X的分布 列, 期望 E（ X ）和方差D（X）. 5.（2007 陕西理） 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问 题，能 正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知 某选手能正 确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 、、 ，且各轮问题 555 能否正确回答互不 影响 . （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率； （Ⅱ） 该选手在选拔 中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数 数 期望 .（注：本小题结果可用分数表示 43 2 6. 一批产品共 10 件，其中 7 件正品， 3 件次品，每次从这批产品 中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数 的 概率分别布 . （1）每次取出的产品不再放回去； （2）每次取出的产品仍放回去； （3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中 7. （2007?山东）设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数， 2用随机变量 ξ 表示方程 x +bx+c=0 实根的个数（重根按一个 2计）． （I）求方程 x +bx+c=0 有实根的概率； （ II）求 ξ 的分布列和数学期望； 8.（本题满分 12 分）某商场为吸引顾客消费推出一项 优惠活动 . 活动规则如下：消费额每满 转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返 券，假定指针等可能地停在任一位置 . 若指针停在 A 区域返券 60 元；停在 B 区域返券 30 元；停在 C 区域不返券 . 例如：消 费 218 元， 可转动转盘 2 次，所获得的返券金额是两次金额之 和. （I ）若某位顾客消费 128 元，求返券金额不低于 30 元的概率； （II ）若某位顾客恰好消费 280 元，并按规则参与了活动，他 获得 返券的金额记为 X （元），求随机变量 X 的分布列和数学期望 9.（ 本题满分 12 分）中国 ? 黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于 2012 年 8 月 20 日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准 备 在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募 8 名和 12 名志愿者，将 这 20 名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位： cm） 若身高在 175cm 以上（包括 175cm）定义为“高个子”，身高在 175cm 以下（不包括 175cm）定义为“非高个子”，且只有湖北师范学 院的“高个子”才能担任“兼职导 游”。 （1）根据志愿者的身高编茎叶 图指 出湖北师范学院志愿者身高的 中位数； （2）如果用分层抽样的方法从 “高 个子”和“非高个子”中抽取 5 人，再从这 5 人中选 2 人，那 么至少有一人是“高个 子”的概率 是多少？ 湖北理工学 915 916 6517 018 7219 湖北师范学 89 12589 346 01 1 职导游”的人数，试写出 的分布列，并求 的数学期望 10.某产品按行业生产标准分成 8 个等级，等级系数 X 依次为 1,2， ，8，其中 X≥5 为标准 A，X≥3 为标准 B，已知甲厂执行 标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标准 B 生产 该产 品，产品的零售价为 4 元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相 应的 执行标准 I）已知甲厂产品的等级X1的概率分布列如下所 567 8 1 P0．4ab0． 1 x 且 X1的数字期望 EX1=6，求 a，b 的值； （II ）为分析乙厂产品的等级系数 X2，从该厂生产的产品中随机抽 取 30 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体 分布，将频率视为概率，求等级系 数 X2的数学期望 . 11.受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利 润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两 种品牌轿车，保修期均为 2 年，现从该厂已售出的两种品牌