2021版高考数学一轮复习第十章平面解析几何1091圆锥曲线中求值与证明问题练习理北师大版

圆锥曲线中求值与证明问题10.9.1 核心考点·精准研析 考点一 求值问题 1.(2020·西安模拟)已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线,且都过B 点,它们的离心率分别为e,e,则+= ( ) 21 A. B.2 C. D.3 22.已知A,B是抛物线y=2px(p>0)上的两点,直线AB垂直于x轴,F为抛物线的焦点,射线BF交抛物线的准 线于点C,且|AB|=|AF|,△AFC的面积为2+2,则p的值为 ( ) A. B.1 C.2 D.4 3.(2019·天津高考)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为. . 求椭圆的方程(1)(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上. 若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率. 【解析】1.选B.如图,由题意,设椭圆的长半轴为a,双曲线的半实轴为a, 21 根据椭圆和双曲线定义: |AB|+|BC|=2a, 1|BC|-|AB|=2a, 2可得|BC|=a+a,|AB|=a-a,设AC=2c, 2211在直角三角形ABC中,由勾股定理可得, - 1 - 2222, +a) ,= 2c即+ 4c=(a-a)+(a2211 +=2. 即2.选C.过点A作AH垂直于准线,垂足为H,作CG垂直于AB,垂足为G,根据抛物线的定义|AH|=|AF|,CE∥AB,因此|DE|=|AH|=|CG|=|AF|, =|AB|·|DF|=|AD|·|DF|,得SS=S-S,S=|AB|·|CG|=|AD|·|CG|,S由△△AFCABC△AFB△AFB△△ABC=|AD|·|CG|-|AD|·|DF|=|AD|(|CG|-|DF|), AFC=|AD|(|DE|-|DF|)=|AD|·|EF|, |EF|=(则又-1)|DF|, |DE|=|AF|=|DF|, 2+2,所以|EF|=2,因为又因为|EF|,SEF=2|AD|=2|DF|=可得=|EF|,S正好是=AFC△AFC△焦点到准线的距离,即p=2. 222,b=2,c=1. +ca=,c,依题意,2b=4,可得=,又a=b设椭圆的半焦距为3.(1) +椭圆的方程为所以,=1. (2)由题意,设P(x,y)(x≠0),M(x,0).设直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,MPPP 22=,yy=kx+2x+20kx=0,(4+5k与椭圆方程联立整理得)x可得=-,代入得PP - 2 - .MN的斜率为-=-.由题意得N(0,-1),的斜率y=0,=.在y=kx+2中,令得x进而直线OP所以直线M 2. =k=±OP由⊥MN,,得从而·=-1,化简得k . 或所以直线PB-的斜率为 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题1.), (x,y斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P(1)111: ),则所得弦长P(x,y222 |=|=|x|PP-x2112 |. -y=|y=21). 利用两点间距离公式,直接求解((2)斜率不存在时,可求出交点坐标求出相关的度量—,,然后确定其面积的表达式2.平面图形面积的求解,首先根据题意确定平面图形的形状. 最后代入公式求解即可—弦长、距离等,. )求值,通过解方程(组条件求值3.,主要是将已知条件坐标化,列出对应的方程 秒杀绝招则椭圆与3,4,5.不妨设直角三角形ABC三边长度分别为1题中可以利用赋值法简化求解过程,减少计算量.2c=5, 双曲线的焦距 ; =故则在椭圆中,2a=3+4=7,e11=5. e=|3-4|=1,在双曲线中,2a故12 =2. 所以++= 证明问题考点二 - 3 - 曲线等几何元素中:一是证明点、直线、1.考什么:(1)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类二是证明某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;命 的位置关系,如某点在某直线上、). (相等或不等题 直线与圆锥曲线中的一些数量关系. 考查数学运算与逻辑推理的核心素养以及函数与方程、 转化与化归的数学思想方法等(2)精直线平行、考查角度与长度关系的证明,2.怎么考:以直线和圆锥曲线的位置关系为背景,解 . 垂直、三点共线等位置关系的证明等读 . ,如证明角度相等3.新趋势:等量关系的证明与三角函数等知识的结合 学通过,,1.解决证明问题时主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等 霸. 相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等直接进行证明 好如三角函数、向量以及函数相关,交汇问题:数量关系的问题,多与其他模块知识相结合2. 方. 知识等 法 证明数量关系 的离心率为.A为椭圆C已知椭圆(2019·北京模拟)C:+=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),【典例】l. 分别交于M,N的两个动点,直线AP,AQ与直线两点:x=4上异于 左顶点,P,Q为椭圆CA. 求椭圆C的方程 (1) . M的坐标PAF与△PMF的面积之比为,求(2)若△lFNR. ∠,求证:∠MFR=(3)设直线与x轴交于点R,若P,F,Q三点共线 【解题导思】 题目拆解序号 b,a,c=1,由题意得根据已知条件求标准方程中的结合离心率求得再由隐含条件求得(1) . 参数值 则椭圆方程可求. 的关系求①AP与AM 与AP将两个三角形面积比转化为的关系AM(2) . ②利用向量关系建立坐标的方程求解的纵坐标求M l ①求x与直线 R点坐标轴的交点(3) P②求利用根与系数的关系求得, 点坐标联立方程组求解的坐标P - 4 - 利用三点共线——斜率相等建立坐标关系③建立点的坐标之间的关系. ,范围相等证明两个角的三角函数(正切)值相等④证明数量等式 解得【解析】(1)由题意得2222=3. ,a因为所以-bb=c =1. +所以椭圆C的方程为 , 的面积之比为PAF与△PMF(2)因为△ . =|AP|=|PM|.所以所以 . =-1,y=解得(x+2,y)=(6,m),x),设M(4,m)(m≠0),P(x,y则000000 9. m=±将其代入+=1,解得(4,-9). 或所以M的坐标为(4,9) R(4,0), 由题知M(4,m),N(4,n),P(x,y),设(3)00. ,不符合题意三点共线知,Q为椭圆C的左顶点由为椭圆若m=0,则PC的右顶点,P,F,Q0. ≠0.同理n≠所以m (x+2). AM的方程为y=直线 2222-108)=0. y, 由消去整理得x+(4m)x(27+m+4m - 5 - 2222-108)>0成立))(4m-4(27+m. Δ=(4m =.