高中排列组合基础题-含答案

高中排列组合基础题高中排列组合基础题-(-(含答案含答案) ) 排列、组合问题基本题型及解法排列、组合问题基本题型及解法 同学们在学习排列、组合的过程中，总觉得抽同学们在学习排列、组合的过程中，总觉得抽 象，解法灵活，不容易掌握象，解法灵活，不容易掌握. .然而排列、组合问题然而排列、组合问题 又是历年高考必考的题目又是历年高考必考的题目. .本文将总结常见的类型本文将总结常见的类型 及相应的解法及相应的解法. . 一、相邻问题“捆绑法”一、相邻问题“捆绑法” 将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个 元素进行排列元素进行排列. . 例例 1 1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果 甲、乙必须站在一起，不同的排法共有几种？甲、乙必须站在一起，不同的排法共有几种？ 分析：先把甲、乙当作一个人，相当于三个人分析：先把甲、乙当作一个人，相当于三个人 全排列，有全排列，有 A ＝＝6 6 种，然后再将甲、乙二人全排列种，然后再将甲、乙二人全排列 有有 A ＝＝2 2 种，所以共有种，所以共有 6 6××2 2＝＝1212 种排法种排法. . 二、不相邻问题“插空法”二、不相邻问题“插空法” 该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把 规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空 位中（注意两端）位中（注意两端）. . 例例 2 27 7 个同学并排站成一排，其中只有个同学并排站成一排，其中只有 A A、、B B 是女同学，是女同学， 如果要求如果要求 A A、、 B B 不相邻，不相邻， 且不站在两端，且不站在两端， 不同的排法有多少种？不同的排法有多少种？. . 分析：分析：先将其余先将其余 5 5 个同学先全排列，个同学先全排列，排列故是排列故是 A ＝＝120.120.再把再把 A A、、B B 插入五个人组成的四个空位（不插入五个人组成的四个空位（不 包括两端）中，包括两端）中， （如图（如图 0 0××0 0××0 0××0 0××0 0“×”表示“×”表示 空位，空位， ““0 0”表示”表示5 5 个同学）有个同学）有A＝＝2 2 种方法种方法. .则共有则共有 A A ＝＝440440 种排法种排法. . 三、定位问题“优先法”三、定位问题“优先法” 指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可 3 3 2 2 5 5 2 4 5 5 2 4 优先排这个元素，后排其他元素优先排这个元素，后排其他元素. . 例例 3 3 6 6 个好友其中只有一个女的，为了照像留个好友其中只有一个女的，为了照像留 念，念， 若女的不站在两端，若女的不站在两端， 则不同的排法有则不同的排法有种种. . 分析：优先排女的（元素优先）分析：优先排女的（元素优先）. .在中间四个位在中间四个位 置上选一个，置上选一个， 有有 A 种排法种排法. .然后将其余然后将其余 5 5 个排在余下个排在余下 的的 5 5 个位置上，有个位置上，有 A 种方法种方法. .则共则共 A A ＝＝480480 种排法种排法. . 还可以优先排两端（位置优先）还可以优先排两端（位置优先）. . 四、同元问题“隔板法”四、同元问题“隔板法” 例例 4 4 1010 本完全相同的书，分给本完全相同的书，分给 4 4 个同学，每个个同学，每个 同学至少要有一本书，共有多少种分法？同学至少要有一本书，共有多少种分法？ 分析：在排列成一列的分析：在排列成一列的 1010 本书之间，有九个空本书之间，有九个空 位插入三块“隔板”位插入三块“隔板”. .如图：如图： ×××× ×× ×××××× ×××××××× 一种插法对应于一种分法，则共有一种插法对应于一种分法，则共有 C ＝＝8484 种分种分 法法. . 五、先分组后排列五、先分组后排列 对于元素较多，对于元素较多， 情形较复杂的问题，情形较复杂的问题， 可根据结可根据结 果要求，果要求， 先分为不同类型的几组，先分为不同类型的几组， 然后对每一组分然后对每一组分 别进行排列，最后求和别进行排列，最后求和. . 例例 5 5 由数字由数字 0 0，，1 1，，2 2，，3 3，，4 4，，5 5 组成无重复数字组成无重复数字 的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 （（）） （（A A））210210 个个（（B B））300300 个个（（C C））464464 个个（（D D））600600 个个 分析：由题意知，个位数字只能是分析：由题意知，个位数字只能是0 0，，1 1，，2 2，，3 3，， A A A 个、个、 A A A 4 4共共5 5种类型，种类型， 每一种类型分别有每一种类型分别有 A 个、个、 1 4 5 5 1 4 5 5 3 9 5 5 1 4 1 3 3 3 1 3 1 3 3 3 个、个、 A A A 个、个、 A A 个，合计个，合计 300300 个，所以选个，所以选 B B 例例 6 6 用用 0 0，，1 1，，2 2，，3 3，…，，…，9 9 这十个数字组成五这十个数字组成五 位数，位数， 其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五 位数有多少个位数有多少个? ? 【解法【解法 1 1】考虑】考虑0 0 的特殊要求，如果对的特殊要求，如果对0 0 不加不加 限制，应有限制，应有C C A种，其中种，其中 0 0 居首位的有居首位的有 C C A 种，故种，故 符合条件的五位数共有符合条件的五位数共有 C C A C C A ＝＝1104011040个个. . 【解法【解法 2 2】】按元素分类：按元素分类：奇数字有奇数字有 1 1，，3 3，，5 5，，7 7，， 9 9；偶数字有；偶数字有 0 0，，2 2，，4 4，，6 6，，8. 8. 把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：把从五个偶数中任取两个的组合分成两类： ①① 不含不含 0 0 的；②含的；②含 0 0 的的. . ①不含①不含 0 0 的：的： 由三个奇数字和两个偶数字组成由三个奇数字和两个偶数字组成 的五位数有的五位数有 C C A 个；个； ②含②含 0 0 的，的， 这时这时 0 0 只能排在除首位以外的四个只能排在除首位以外的四个 数位上，数位上，有有 A 种排法，种排法，再选三个奇数数与一个偶数再选三个奇数数与一个偶数 数字全排放在其他数位上，共有数字全排放在其他数位上，共有 C C A A 种排法种排法. . 综合①和②，综合①和②， 由分类计数原理，由分类计数原理， 符合条件的五符合条件的五 位数共有位数共有 C C A ＋＋ C C A A ＝＝1104011040个个. . 例例 8 8由数字由数字 1 1，，2 2，，3 3，，4 4，，5 5 可以组成多少个无可以组成多少个无 重复数字，重复数字， 比比 2000020000 大，大， 且百位数字不是且百位数字不是 3 3 的自然的自