第31届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题及答案

第 31 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题 20142014 年年 9 9 月月 2020 日日 说明：所有答案说明：所有答案（包括填空）必需写在答题纸上，写在试题纸上无效。（包括填空）必需写在答题纸上，写在试题纸上无效。 一、（12 分）振动的液滴 20132013 年年 6 6 月月 2020 日，日，“神舟十号”女航天员王亚平在“天宫一号”目标飞行器里成功进行了“神舟十号”女航天员王亚平在“天宫一号”目标飞行器里成功进行了 我国第一次太空讲课我国第一次太空讲课. . 讲课中的一个实验展现了失重状态下液滴的表面张力引发的效应讲课中的一个实验展现了失重状态下液滴的表面张力引发的效应. . 视视 频中可发觉漂浮的液滴处于周期性的“脉动”中（平常在地球表面周围，重力的存在会致使液淌频中可发觉漂浮的液滴处于周期性的“脉动”中（平常在地球表面周围，重力的存在会致使液淌 下降太快，以至于很难观看到液滴的这种“脉动”现象）下降太快，以至于很难观看到液滴的这种“脉动”现象） . . 假设液滴处于完全失重状态，液滴的上述“脉动”可假设液滴处于完全失重状态，液滴的上述“脉动”可 视为液滴形状的周期性的微小转变（振动），如图所示视为液滴形状的周期性的微小转变（振动），如图所示. . （（1 1）该液滴处于平稳状态时的形状是）该液滴处于平稳状态时的形状是____________________；； （（2 2）决定该液滴振动频率）决定该液滴振动频率f f 的要紧物理量是的要紧物理量是________________________________________________________________________________；； （（3 3）按后面括号中提示的方式导出液滴振动频率与上述物理量的关系式）按后面括号中提示的方式导出液滴振动频率与上述物理量的关系式. .（提示：例如，若以为（提示：例如，若以为a,b,ca,b,c 是决定该是决定该 液滴振动频率的彼此独立的要紧物理量，可将液滴振动频率液滴振动频率的彼此独立的要紧物理量，可将液滴振动频率f f 与与 a,b,ca,b,c 的关系式表示为的关系式表示为 f f∝∝a aα αb bβ βc cγ γ，其中指数α、，其中指数α、 β、γ是相应的待定常数β、γ是相应的待定常数. .）） 二、(16 分) 测量理想气体的摩尔热容比γ 一种测量理想气体的摩尔热容比γ一种测量理想气体的摩尔热容比γ=Cp/CV=Cp/CV 的方式（的方式（Clement-DesormesClement-Desormes 方式）如图方式）如图 所示：大瓶所示：大瓶 G G 内装满某种理想气体，瓶盖上通有一个灌气（放气）开关内装满某种理想气体，瓶盖上通有一个灌气（放气）开关H H，另接出，另接出 一根一根 U U 形管作为压强计形管作为压强计 M M．瓶内外的压强差通过．瓶内外的压强差通过 U U 形管右、左两管液面的高度差来形管右、左两管液面的高度差来 确信确信. . 初始时，瓶内外的温度相等，瓶内气体的压强比外面的大气压强稍高，记录初始时，瓶内外的温度相等，瓶内气体的压强比外面的大气压强稍高，记录 现在现在 U U 形管液面的高度差形管液面的高度差 h hi i．然后打开．然后打开 H H，放出少量气体，当瓶内外压强相等时，，放出少量气体，当瓶内外压强相等时， 即刻关闭即刻关闭 H.H. 等待瓶内外温度又相等时，记录现在等待瓶内外温度又相等时，记录现在U U 形管液面的高度差形管液面的高度差 h hf f．试由这．试由这 两次记录的实验数据两次记录的实验数据 h hi i和和 h hf f，，导出瓶内气体的摩尔热容比γ的表达式．导出瓶内气体的摩尔热容比γ的表达式． （提示：（提示：放放 气进程时刻很短，可视为无热量互换；且气进程时刻很短，可视为无热量互换；且U U 形管很细，可忽略由高差转变引发的瓶形管很细，可忽略由高差转变引发的瓶 内气体在状态转变前后的体积转变）内气体在状态转变前后的体积转变） 三、（三、（2020 分）如图所示，一质量为分）如图所示，一质量为 m m、底边、底边 ABAB 长为长为 b b、等腰边长为、等腰边长为 a a、质量均匀散布的等腰三角形平板，可绕、质量均匀散布的等腰三角形平板，可绕 过滑腻铰链支点过滑腻铰链支点 A A 和和 B B 的水平轴的水平轴 x x 自由转动；图中原点自由转动；图中原点 O O 位于位于 ABAB 的中点，的中点，y y 轴垂直于板面斜向上，轴垂直于板面斜向上，z z 轴在板面轴在板面 上从原点上从原点 O O 指向三角形极点指向三角形极点 C.C. 今在平板上任一给定点今在平板上任一给定点 M0(x0,0,z0)M0(x0,0,z0) 加一垂直于板面的拉力加一垂直于板面的拉力 Q.Q. （（1 1）） 若平稳时平板与竖直方向成的角度为φ，若平稳时平板与竖直方向成的角度为φ， 求拉力求拉力 Q Q 和铰链支点对和铰链支点对 三角形板的作使劲三角形板的作使劲 N NA A和和 N NB B；； （（2 2）） 若在三角形平板上缓慢改变拉力若在三角形平板上缓慢改变拉力 Q Q 的作用点的作用点 M M 的位置，的位置， 使平稳时使平稳时 平板与竖直方向成的角度仍维持为φ，则改变的作用点平板与竖直方向成的角度仍维持为φ，则改变的作用点 M M 形成的轨迹形成的轨迹 知足什么条件时，可使铰链支点知足什么条件时，可使铰链支点 A A 或或 B B 对板作使劲的垂直平板的分量对板作使劲的垂直平板的分量 在在 M M 变更中维持不变？变更中维持不变？ ’’’’ 四、四、（（2424 分）如图所示，半径为分）如图所示，半径为R R、质量为、质量为m m0 0的滑腻均匀圆环，套在滑腻竖直细轴的滑腻均匀圆环，套在滑腻竖直细轴 OOOO 上，可沿上，可沿 OOOO 轴滑动或绕轴滑动或绕 ’’’’ OOOO 轴旋转．圆环上串着两个质量均为轴旋转．圆环上串着两个质量均为 m m 的小球的小球. . 开始时让圆环以某一角速度绕开始时让圆环以某一角速度绕 OOOO 轴转轴转 动，两小球自圆环顶端同时从静止开始释放．动，两小球自圆环顶端同时从静止开始释放． ’’ （（1 1）设开始时圆围绕）设开始时圆围绕 OOOO 轴转动的角速度为ω轴转动的角速度为ω0 0，在两小球从环顶下滑进程中，应知足什，在两小球从环顶下滑进程中，应知足什 ’’ 么条件，圆环才有可能沿么条件，圆环才有可能沿 OOOO 轴上滑？轴上滑？ 0 0’’ （（2 2）若小球下滑至θ）若小球下滑至θ=30=30 （θ是过小球的圆环半径与（θ是过小球的圆环半径与 OOOO 轴的夹角）轴的夹角） ’’0 0 时，圆环就开始沿时，圆环就开始沿OOOO 轴上滑，求开始时圆围绕轴上滑，求开始时圆围绕OO?OO?轴转动的角速度ω轴转动的角速度ω0 0、在θ、在θ=30=30 时圆围时圆围 绕绕 OOOO 轴转动的角速度ω和小球相关于圆环滑动的速度轴转动的角速度ω和小球相关于圆环滑动的速度 v v. . 五、（五、（2020 分）透镜成像分）透镜成像 如图所示，现有一圆盘状发光体，其半