-相交线与平行线典型例题及拔高训练

第五章第五章 相交线和平行线典型例题及强化训练相交线和平行线典型例题及强化训练 课标要求课标要求 ①了解对顶角，知道对项角相等。 ②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。 ③知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。 ④知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质 ⑤知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线， 会用角尺和直尺过已知直线外一点画这条 直线的平行线。 ⑥体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。 典型例题典型例题 … 1.判定与性质 例例1 1 判断题： 1)不相交的两条直线叫做平行线。() 2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。() 3)两直线平行，同旁内角相等。() 4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等。() 答案：(1)错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。 (2)错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。 (3)错，应为“两直线平行，同旁内角互补 ”。 (4)错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。 ^ ^ 例例2 2 已知：如图，AB∥ CD，求证：∠ B+∠ D=∠ BED。 分析：可以考虑把∠ BED变成两个角的和。如图5，过E点引 AB 一条直线EF∥ AB，则有∠ B=∠ 1，再设法证明∠ D=∠ 2，需证 EF∥ CD，这可通过已知AB∥ CD和EF∥ AB得到。 证明：过点E作EF∥ AB，则∠ B=∠ 1（两直线平行，内错角 相等）。 ∵ AB∥ CD（已知）， 又∵ EF∥ AB（已作）， C E D F ∴ EF∥ CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴ ∠ D=∠ 2（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠ BED=∠ 1+∠ 2， ∴ ∠ BED=∠ B+∠ D（等量代换）。 —— 变式变式1 1已知：如图6，AB∥ CD，求证：∠ BED=360°－（∠ B+∠ D）。 分析： 此题与例1的区别在于E点的位置及结论。 我们通常所说的∠ BED都是指 小于平角的角，如果把∠ BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1的 结论是一致的。因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。 证明：过点E作EF∥ AB，则∠ B+∠ 1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∵ AB∥ CD（已知）， 又∵ EF∥ AB（已作）， ∴ EF∥ CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴ ∠ D+∠ 2=180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∴ ∠ B+∠ 1+∠ D+∠ 2=180°+180°（等式的性质）。 又∵ ∠ BED=∠ 1+∠ 2， ∴ ∠ B+∠ D+∠ BED=360°（等量代换）。 。 ∴ ∠ BED==360°－（∠ B+∠ D）（等式的性质）。 变式变式2 2已知：如图7，AB∥ CD，求证：∠ BED=∠ D－∠ B。 分析：此题与例1的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同。模仿例1与变式1作辅助线的方法， 可以解决此题。 证明：过点E作EF∥ AB，则∠ FEB=∠ B（两直线平行，内错角相等）。 ∵ AB∥ CD（已知）， 又∵ EF∥ AB（已作）， ∴ EF∥ CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴ ∠ FED=∠ D（两直线平行，内错角相等）。 ∵ ∠ BED=∠ FED－∠ FEB， ∴ ∠ BED=∠ D－∠ B（等量代换）。 ：： 变式变式3 3已知：如图8，AB∥ CD，求证：∠ BED=∠ B－∠ D。 分析：此题与变式2类似，只是∠ B、∠ D的大小发生了变化。 证明：过点E作EF∥ AB，则∠ 1+∠ B=180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∵ AB∥ CD（已知）， 又∵ EF∥ AB（已作）， ∴ EF∥ CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴ ∠ FED+∠ D=180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∴ ∠ 1+∠ 2+∠ D=180°。 ∴ ∠ 1+∠ 2+∠ D－（∠ 1+∠ B）=180°－180°（等式的性质）。 ∴ ∠ 2=∠ B－∠ D（等式的性质）。 ( 即∠ BED=∠ B－∠ D。 例例3 3 已知：如图9，AB∥ CD，∠ ABF=∠ DCE。求证：∠ BFE=∠ FEC。 证法一：过F点作FG∥ AB ，则∠ ABF=∠ 1（两直线平行，内错角相等）。 过E点作EH∥ CD ，则∠ DCE=∠ 4（两直线平行，内错角相等）。 ∵ FG∥ AB（已作），AB∥ CD（已知）， ∴ FG∥ CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 又∵ EH∥ CD （已知）， ∴ FG∥ EH（平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴ ∠ 2=∠ 3（两直线平行，内错角相等）。 ∴ ∠ 1+∠ 2=∠ 3+∠ 4（等式的性质） （ 即∠ BFE=∠ FEC。 证法二：如图10，延长BF、DC相交于G点。 ∵ AB∥ CD（已知）， ∴ ∠ 1=∠ ABF（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠ ABF=∠ DCE（已知）， ∴ ∠ 1=∠ DCE（等量代换）。 ∴ BG∥ EC（同位角相等，两直线平行）。 ∴ ∠ BFE=∠ FEC（两直线平行，内错角相等）。 如果延长CE、AB相交于H点（如图11），也可用同样的方法证明 （过 程略）。 证法三：（如图12）连结BC。 # ∵ AB∥ CD（已知）， ∴ ∠ ABC=∠ BCD（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠ ABF=∠ DCE（已知）， ∴ ∠ ABC－∠ ABF =∠ BCD－∠ DCE（等式的性质）。 即∠ FBC=∠ BCE。 ∴ BF∥ EC（内错角相等，两直线平行）。 ∴ ∠ BFE=∠ FEC（两直线平行，内错角相等）。 强化训练强化训练 一一. . 填空填空 ： 1.完成下列推理过程 ①∵ ∠ 3= ∠ 4（已知）， __∥ ___（） ②∵ ∠ 5= ∠ DAB（已知）， A 4 B 5 D 3 C ∴ ____∥ ______（） ③∵ ∠ CDA +=180°（ 已知 ）， ∴ AD∥ BC（） 2. 如图,已知DE∥ BC,BD是∠ ABC的平分线，∠ EDC＝109°， E A B ∠ ABC＝50°则∠ A度，∠ BDC＝度。 3. 如图，AB∥ CD,BE,CE分别平分∠ ABC，∠ BCD, % D C 则∠ AEB＋∠ CED=。 4、将点P(－3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x，－1)，则xy=___________ 。 5、已知：如图，直线AB和CD相交于O，OE平分∠ BOC， 且∠ AOC=68°，则∠ BOE= 二、选择题二、选择题 1.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔 D H C E 1 A G F B ° 的（） A 南偏西50度方向；B南偏西40度方向 ； C 北偏东50度方向 ；D北偏东40度方向 2.如图,AB∥ EF∥ DC，EG∥ BD, 则图中与∠ 1相等的角共有()个 A6个B .5个C .4个个 ; 3、 同一平面内的四条直线若满足a⊥