空间向量与立体几何专题复习
个人收集整理 勿做商业用途 【学案十一】【学案十一】空间向量与立体几何空间向量与立体几何 ( (ⅠⅠ) )空间直角坐标系空间直角坐标系 一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系：如图，OABCD A B C 是单位正方体.以 O 为原点，分别是 射线 OA,OC，OD 的方向为正方向，以线段 OA，OC，OD 的长为单位长度，建立 三条数轴:x轴，y轴，z轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系空间直角坐标系 O Oxyz.点 O 叫 做坐标原点坐标原点,x轴,y轴，z轴叫做坐标轴坐标轴。通过每两个坐标轴的平面叫做 分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。其中： z z 坐标平面坐标平面， xOy平面是坐标形如（x,y,0）的点构成的集合; D D C C yOz平面是坐标形如(0, y,z)的点构成的集合； A A B B zOx平面是坐标形如(x,0,z)的点构成的集合； O O x轴是坐标形如(x,0,0)的点构成的集合； A A (0, y,0)的点构成的集合； B B C Cy y y轴是坐标形如x x z轴是坐标形如(0,0,z)的点构成的集合。 空间任意一点 M 与三个有序实数组（点的坐标）之间，建立起一一对应关系。 这个有序实数组叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标空间直角坐标系中的坐标，记作 M（x, y,z） 。 其中x叫做点 M 的横坐标横坐标,y叫做点 M 的纵坐标纵坐标，z叫做点 M 的竖坐标竖坐标。 写出下列各点的坐标：O(0,0,0)，A(1,0,0)，z z B(1,1,0)，C(0,1,0)，A (1,0,1)， F F D D E E C C B (1,1,1),C (0,1,1)，D (0,0,1)。 A A 例例 1 1、如图，正方体OABCD A B C 的棱长为a B B N N E、F、G、H、M、N 分别是棱C D ，D A , G G A A，AB，BC，CC 的中点, O O C C 写出正六边形 EFGHMN 各顶点的坐标。 A AMM y y E(0, a 2 ，a）,F( a 2 ，0,a） ，G（a，0， ax xH H B B 2 ） H（a， a 2 ，0)，M（ aa 2 ，a,0） ，N（0，a， 2 ) 例例 2 2、已知正三角形 ABC 的两个顶点的坐标分别为 A(0，0，0)，B(0,2，0） 它的第三个顶点 C 在坐标平面上，则顶点 C 的坐标是. 答案:（3，1，0）,（—3，1，0)， （0，1，3） ， （0，1，-3） 。 二、在空间直角坐标系中，点二、在空间直角坐标系中，点 P(x,y,zP(x,y,z）的几种特殊的对称点的坐标如下：）的几种特殊的对称点的坐标如下： 点 P(x, y, z)关于原点对称的对称点是 P1(x, y, z)； 点 P(x, y, z)关于横轴(x 轴）对称的对称点是 P2(x, y, z)； 点 P(x, y, z)关于纵轴(y 轴）对称的对称点是 P3(x, y, z)； 点 P(x, y, z)关于竖轴（z 轴）对称的对称点是 P4(x, y, z)； 点 P(x, y, z)关于xOy平面对称的对称点是 P5(x, y, z)； 点 P(x, y, z)关于yOz平面对称的对称点是 P6(x, y, z)； 点 P(x, y, z)关于zOx平面对称的对称点是 P7(x, y, z)。 三、三、已知空间两点P 1(x1, y1,z1) ,P 2 (x 2 , y 2 ,z 2 )，则： （1）线段线段P 1P2 的中点的中点M(x, y,z)坐标公式：坐标公式：( x 1 x 2 2 , y 1 y 2 2 , z 1 z 2 2 )。 （2）空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式：| PP 12 |(x 1 x 2 )2(y 1 y 2 2 ) (z 1 z 2 )2。 特别地：空间任意一点P(x, y,z)到原点 O 的距离为：|OP|x2 y2 z2。 例例 3 3、如图，正方体OABCD A B C 的棱长为a，且正方体各面的中心是一个 几何体的顶点，则这个几何体的棱长为 2 2 a。 z z z z D D C C D D C C B B A A B B A A MM C C C C A A O Oy y O O A AN N y y x x（例（例 3 3 图）图）B B 例例 4 4、如图，正方体OABCD A B C 的棱长为 x x （例（例 4 4 图）图）B B a，| AN | 2|CN |， | BM | 2| MC |，则MN的长为 5 3 a。 例例 5 5、以 A(4，1,9） ，B（10，－1，6）,C（2，4，3）为顶点的 三角形是等腰直角三角形。 四、练习：四、练习： （1）点 A（0，1，3)及点 B(0，－5，0）在空间直角坐标系的位置都比较特殊， 点 A 在yoz平面上，点 B 在y轴上。 (2)点 M（－1，5,－2）关于yOz平面的对称点是 (1，5，—2)。 （3)点 M(3,－1，2）关于x轴对称的点的坐标是(3，1,—2）. （4）点 A(2,－3，1）关于坐标原点对称的点的坐标是 （—2，3，-1） 。 个人收集整理 勿做商业用途 （5）点 M（－2，1，2）在x轴上的投影点为(—2，0，0）. （6)点 A(－1,2，1）在xOz平面上的投影点为(—1，0,1)。 （7）点 M（3，－4，2)到xOy平面上的距离是2. （8）点 A（2，－1，5）到x轴的距离d等于26。 （9）已知A(x,5 x,2x1)，B(1,x2,2 x)两点， 当| AB |取最小值时,x的值为 8 7 。 （10）x轴上到点 M(3，5，7）与点 N（6，0，1）距离相等 的点的坐标是( 23 3 , 0, 0)。 （11）已知三角形三个顶点 A（2,0，0） ，B（2，3，5)，C（0,0,5） ， 则过点 B 的中线长为 65 2 . （（ⅡⅡ）空间向量与立体几何）空间向量与立体几何 一、在空间,具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量空间向量。空间向量用 有向线段 表示。 有向线段的长度表示向量的长度或模。 二、零向量、单位向量、共线向量、相等向量、相反向量、共面向量二、零向量、单位向量、共线向量、相等向量、相反向量、共面向量: 零零 向向 量量长度为0的向量叫做零向量。零向量。零向量0的方向是 任意的 . 单位向量单位向量模为1 的向量叫做单位向量单位向量. . 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行 或 重合 ， 共线向量共线向量 则这些向量叫做共线向量共线向量或平行向量平行向量.记作a//b。 零向量与任意向量平行(共线） ； 任一组平行向量都可以移动到同一条直线上. 方向相同 且 模相等 的向量叫做相等向量，相等向量，记作a b。 相等向量相等向量 向量可根据需要 平移 。在空间，两个长度相等且指向一致的 有向线段表示同一个向量或相等向量。 与a长度 相等 ,方向 相反 的向量，叫做a的相反
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