立体及立体表面交线

第三章第三章立体及立体表面交线立体及立体表面交线 目的要求： 1）掌握平面立体和回转体的投影特性，以及表面取点线的方法 2）熟悉立体表面上常见交线的画法（截交线、相贯线） 重点难点： 1） 掌握和熟练运用各种立体的投影特性求解表面取点线的方法 2）熟练求解立体表面上截交线和相贯线 授课学时：8 学时 主要作图练习： 1） 完成平面立体、回转体的三面投影，平面立体、回转体表面找点、找线。 2） 单个截平面截棱柱、棱锥后的三面投影。 3） 多个截平面（切口）截棱柱、棱锥的三面投影，尤其是长方体截切后的三面投影。 4） 单个和多个截平面截切圆柱、圆锥、圆球后的三面投影，尤以带槽的圆柱和圆球 为主。 5） 圆柱与圆柱相贯、同轴回转体相贯的各种情况作图、综合作图。 6） 授课内容： 机件形状是多种多样的，经过分析，都是由一些基本几何体所组成。而几何体又是由 一些表面所围成，根据这些表面的性质，几何体可分为两类： 平面立体——由若干个平面所围成的几何体，如棱柱、棱锥等。 曲面立体——由曲面或曲面与平面所围成的几何体，最常见的是回转体，如圆柱、圆 锥、圆球、圆环等。 用投影图表示一个立体，就是把围成立体的这些平面和曲面表达出来，然后根据可见 性判别哪些线是可见的， 哪些线是不可见的，把其投影分别画成粗实线和虚线， 即可得立体 的投影图。 §§3-13-1平面立体的投影平面立体的投影 平面立体各表面都是平面图形，各平面图形均由棱线围成，棱线又由其端点确定。因此，平 面立体的投影是由围成它的各平面图形的投影表示的，其实质是作各棱线与端点的投影。 一、棱柱一、棱柱 以正六棱柱为例，其顶面、底面均为水平面， 它们的水平投影反映实形，正面及侧面投 影积聚为一直线。棱柱有六个侧棱面，前后棱面为正平面，它们的正面投影反映实形， 水平 投影及侧面投影积聚为一直线。棱柱的其它四个侧棱面均为铅垂面，水平投影积聚为直线， 正面投影和侧面投影为类似形。 Z Z e a A O B X a(b) c(d) Eb D C a(b) c(d)e Y H d W (e ) c b X c b e V a b d c a d a d (e ) c Y W e Y 图图 3-13-1正六棱柱的投影正六棱柱的投影 二、棱锥二、棱锥 以四棱锥为例，其底面为一长方形，呈水平位置，水平投影反映底面的实形。左右两个 棱面是正垂面，其正面投影积聚为直线， 水平和侧面投影均为类似三角形， 前后两个棱面为 侧垂面，其侧面投影积聚为直线， 水平和正面投影同样为类似的三角形。 底边中两条为正垂 线，两条为侧垂线。可对照立体图及投影图分析其每一条棱线的投影。 Z V H W y 图图 3-23-2正四棱锥的投影正四棱锥的投影 §§3-23-2平面与平面立体相交平面与平面立体相交 在机件上常有平面与立体相交（平面截割立体）而形成的交线，平面与立体表面相交 截断体截断体 H 截平面截平面 截断面截断面 截交线截交线 图图 3-33-3 截交线的概念截交线的概念 y X Y 的交线，称为截交线。这个平面称为截平面，形体上截交线所围成的平面图形称为截断面。 被截切后的形体称为截断体，如图3-3 所示。从图中可以看出，截交线既在截平面上，又在 形体表面上，它具有如下性质： （1）截交线上的每一点既是截平面上的点又是形体表面的点，是截平面与立体表面共 有点的集合。 （2）因截交线是属于截平面上的线，所以截交线一般是封闭的平面图形。 平面立体被截切后所得到的截交线， 是由直线段组成的平面多边形。 此多边形的各边是 立体表面与截平面的交线， 而多边形的各顶点是立体各棱线与截平面的交点。 截交线既在立 体表面上，又在截平面上，所以它是立体表面和截平面的共有线， 截交线上的各顶点都是截 平面与立体各棱线的共有点。 因此，求截交线实际上是求截平面与立体各棱线的交点， 或求 截平面与平面立体各表面的交线。 以平面截切六棱柱为例： Ⅱ Ⅰ Ⅳ Ⅵ Ⅴ Ⅲ 3 (4 ) 2 (5 ) 1 6 4 5 3 2 1 6 3 5 6 4 3 1 2 图图 3-43-4平面截切六棱柱平面截切六棱柱 作图步骤： ① 先画出完整六棱柱的侧面投影图； ② 因截平面为正垂面， 六棱柱的六条棱线与截平面的交点的正面投影 1′、2′、3′、4′、 5′、6′可直接求出； ③ 六棱柱的水平投影有积聚性，各棱线与截平面的交点的水平投影1、2、3、4、5、6 可直接求出； ④ 根据直线上点的投影性质，在六棱柱的侧面投影上，求出相应点的侧面投影 1″、 2″、3″、4″、5″、6″； ⑤ 将各点的侧面投影依次连接起来，即得到截交线的侧面投影，并判断其可见性； ⑥ 在图上将被截平面切去的顶面及各条棱线的相应部分去掉，并注意可能存在的虚线。 以切口三棱锥为例： S G F D A E B s s g g d e a (f ) (c )b c c f a y d e b y f a d gs e b y y 图图 3-53-5切口三棱锥的投影切口三棱锥的投影 三棱锥所形成的缺口是由一个水平面和一个正垂面切割三棱锥而形成的， 由于水平面和 正垂面的正面投影有积聚性， 故截交线的正面投影已知。 因为水平截面平行于底面， 所以它 与前棱面的交线 DE 必平行于底边 AB，与后棱面的交线DF 必平行于底边 AC。正垂面分别 与前、后棱面相交于直线GE、GF。由于两个截平面都垂直于正面，所以它们的交线EF 一 定是正垂线。画出这些交线的投影，也就画出了这个缺口的投影 作图步骤： ① 因为两截平面都垂直于正面，所以 d′e′、d′f′和 g′e′、g′f′都分别重合在 它们的有积聚性的正面投影上，e′f′则位于它们的有积聚性的正面投影的交点处； ② 根据点在直线上的投影特性，由d′在 sa 上作出 d。由 d 作 de∥ab、df∥ac，再分 别由 e′、f′在 de、df 上作出 e、f。由 d′e′、de 和 d′f′、df 作出 d″e″、d″f″，都 重合在水平截面的积聚成直线的侧面投影上； ③ 由 g′分别在 sa、s″a″上作出 g、 g″， 并分别与 e、f 和 e″、f″连成 ge、gf 和 g″ e″、g″f″； ④ 连接 e、f，由于 ef 被三个棱面 SAB、SBC、SCA 的水平投影所遮而不可见，画成虚 线；e″f″则重合在水平截面的积聚成直线的侧面投影上； ⑤ 加粗实际存在的左棱线的SG、DA 段的水平和侧面投影。 §§3-33-3曲面立体的投影曲面立体的投影 曲面立体是由曲面或曲面与平面所围成。 曲面可分为规则曲面和不规则曲面两种。 规则曲面可看作由一条线按一定的规律运动所 形成，运动的线称为母线，而曲面上任一位置的母线称为素线。 母线绕轴线旋转则形成回转面。 回转面的形状取决于母线的形状及母线与轴线的相对位 置。母线任一点绕轴线回转一周所形成的轨迹称为纬圆。纬圆的半径是该点到轴线的距离， 纬圆所在的平面垂直于轴线。 本节仅讨论由回转面组成的立体——回转体。作回转体的投影主要是画出回转