理想流体动力学

第六章 理想流体动力学 6-1 平面不可压缩流体速度分布为 Vx=4x+1；Vy=-4y. (1)该流动满足连续性方程否?(2) 势函数φ、流函数ψ存在否?（3）求φ、ψ 解： （1）由于 VxVy  4 4  0，故该流动满足连续性方程 xy 1VyVx1  ()=(4 4)＝0,故流动有势，势函数φ存在，由于该流 xy22 （2）由ωz= 动满足连续性方程， 流函数ψ存在，. （3）因Vx   =4x+1 xy Vy=  =-=-4y yx  dx+dy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dy yx dφ= dφ= φ=  dx+dy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dy yx =2x2-2y2+x dψ=  dx+dy=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+1)dy yx ψ=  dψ=  dx+dy=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+1)dy yx =4xy+y 6-2平面不可压缩流体速度分布: Vx=x2-y2+x;Vy=-(2xy+y). (1) 流动满足连续性方程否?(2) 势函数φ、流函数ψ存在否? (3)求φ、ψ . 解： （1）由于 VxVy +=2x＋1－（2x＋1）＝0，故该流动满足连续性方程，流动存在. xx 1VyVx1  ()= (2y (2y))＝0, 故流动有势，势函数φ存在，由 y22x (2）由ωz= 于该流动满足连续性方程，流函数ψ也存在. （3）因Vx=  == x2-y2+x, Vy==-=-(2xy+y). yyxx dφ=  dx+dy=Vxdx+Vydy=(x2-y2+x )dx+(-(2xy+y).)dy yx φ=  dφ=  dx+dy=Vxdx+Vydy =(x2-y2+x )dx+(- (2xy+y))dy yx x3 =-xy2+(x2-y2)/2 3 dψ=  dx+dy=-Vydx+Vxdy yx ψ=  dψ=  dx+dy=-Vydx+Vxdy =(2xy+y)dx+ (x2-y2+x)dy yx =x2y+xy-y3/3 6-3 平面不可压缩流体速度势函数 φ=x -y -x,求流场上 A(-1,-1),及 B(2,2)点处的速度值 及流函数值 解: 因Vx= 22 VxVy   2y，由于 ==2x-1，Vy＝+＝0，该流动满 yyxxxx 足连续性方程，流函数ψ存在 dψ=  dx+dy=-Vydx+Vxdy yx ψ=  dψ=  dx+dy=-Vydx+Vxdy=2ydx+(2x-1)dy=2xy-y yx 在点(-1,-1)处Vx=-3; Vy=2; ψ=3 在点(2,2)处Vx=3;Vy=-4; ψ=6 6-4 已知平面流动速度势函数 φ=- 解:Vr= q lnr,写出速度分量 Vr,Vθ,q 为常数。 2 q =-,Vθ===0 r2rr 6-5 已知平面流动速度势函数 φ=-mθ+C ,写出速度分量 Vr、Vθ, m 为常数 解: Vr= m =0,Vθ===- rrr 6-6 已知平面流动流函数ψ=x+y,计算其速度、加速度、线变形率εxx,εyy, 求出速度势函数 φ. 解： 因Vx=  == 1 yx Vy=  =-=-1 yx dφ=  dx+dy=Vxdx+Vydy yx φ=dφ=  dx+dy=Vxdx+Vydy=dx+(-1)dy=x-y yx  xx  ax= v v x, yy  y xy dVxVxVxVx VxVy 0； dttxy dVyVyVyVy VxVy 0 dttxy 22 ay= 6-7 已知平面流动流函数ψ=x -y ,计算其速度、加速度,求出速度势函数φ. 解： 因Vx=  == -2y yx  =-=-2x yx  dx+dy=Vxdx+Vydy yx  dx+dy=Vxdx+Vydy=-2ydx+(-2x)dy=-2xy yx Vy= dφ= φ=  dφ= ax= dVxVxVxVx VxVy 4x dttxy dVyVyVyVy VxVy 4y; dttxy ay= 6-8 一平面定常流动的流函数为 (x, y)   3x  y 试求速度分布，写出通过A（1，0），和 B（2， 3）两点的流线方程. 解：vx   31,vy  y x 平 面 上 任 一 点 处 的 速 度 矢 量 大 小 都 为 12( 3)2 2， 与 x 和 正 向 夹 角 都 是 arctan( 3 /1)  600。 A 点处流函数值为 3•1 0   3，通过 A 点的流线方程为 3x y   3。同 样可以求解出通过 B 点的流线方程也是 3x y   3。 6-9已 知 流 函 数 ψ =V ∞ (ycos α -xsin α ), 计 算 其 速 度 , 加 速 度 , 角 变 形 率 1 v y v x ( xy = yx =(+)),并求速度势函数φ. yx2 解： 因Vx=  == V∞cosα yx  =-= V∞sisα yx  dx+dy=Vxdx+Vydy yx Vy= dφ= φ=  dφ=  dx+dy=Vxdx+Vydy= V∞cosαdx+ sisαdy yx = V∞( cosαx+ sisαy) ax= dVxVxVxVx VxVy 0 dttxy dVyVyVyVy VxVy 0; dttxy 1 v y v x (+)=0 2xy ay=  xy = yx = 6-10.证明不可压缩无旋流动的势函数是调和函数。 解: 不可压缩三维流动的连续性方程为 vxvyvz  0 将关系  vx， vy， vz代入上式得到 xyzxyz  ()()()  0 x xy yz z 222 或 2  2  2  0 xyz 可见不可压缩有势流动的势函数是一调和函数。 6-11 什么样的平面流动有流函数? 答: 不可压缩平面流动在满足连续性方程 vxvy  0 xy 或 vx（-vy）  xy 的情况下平面流动有流函数. 6-12什么样的空间流动有势函数? 答: 在一空间流动中，如果每点处的旋转角速度矢量= x i+ yj+z k 都是零矢量，即 xyz 0， 或关