理想流体动力学

第六章 理想流体动力学 6-1 平面不可压缩流体速度分布为 Vx4x1；Vy-4y. 1该流动满足连续性方程否2 势函数φ、流函数ψ存在否（3）求φ、ψ 解 （1）由于 VxVy  4 4  0，故该流动满足连续性方程 xy 1VyVx1  4 4＝0,故流动有势，势函数φ存在，由于该流 xy22 （2）由ωz 动满足连续性方程， 流函数ψ存在，. （3）因Vx   4x1 xy Vy  --4y yx  dxdyVxdxVydy4x1dx-4ydy yx dφ dφ φ  dxdyVxdxVydy4x1dx-4ydy yx 2x2-2y2x dψ  dxdy-VydxVxdy4ydx4x1dy yx ψ  dψ  dxdy-VydxVxdy4ydx4x1dy yx 4xyy 6-2平面不可压缩流体速度分布 Vxx2-y2x;Vy-2xyy. 1 流动满足连续性方程否2 势函数φ、流函数ψ存在否 3求φ、ψ . 解 （1）由于 VxVy 2x＋1－（2x＋1）＝0，故该流动满足连续性方程，流动存在. xx 1VyVx1  2y 2y＝0, 故流动有势，势函数φ存在，由 y22x 2）由ωz 于该流动满足连续性方程，流函数ψ也存在. （3）因Vx  x2-y2x, Vy--2xyy. yyxx dφ  dxdyVxdxVydyx2-y2x dx-2xyy.dy yx φ  dφ  dxdyVxdxVydy x2-y2x dx- 2xyydy yx x3 -xy2x2-y2/2 3 dψ  dxdy-VydxVxdy yx ψ  dψ  dxdy-VydxVxdy 2xyydx x2-y2xdy yx x2yxy-y3/3 6-3 平面不可压缩流体速度势函数 φx -y -x,求流场上 A-1,-1,及 B2,2点处的速度值 及流函数值 解 因Vx 22 VxVy   2y，由于 2x-1，Vy＝＝0，该流动满 yyxxxx 足连续性方程，流函数ψ存在 dψ  dxdy-VydxVxdy yx ψ  dψ  dxdy-VydxVxdy2ydx2x-1dy2xy-y yx 在点-1,-1处Vx-3; Vy2; ψ3 在点2,2处Vx3;Vy-4; ψ6 6-4 已知平面流动速度势函数 φ- 解Vr q lnr,写出速度分量 Vr,Vθ,q 为常数。 2 q -,Vθ0 r2rr 6-5 已知平面流动速度势函数 φ-mθC ,写出速度分量 Vr、Vθ, m 为常数 解 Vr m 0,Vθ- rrr 6-6 已知平面流动流函数ψxy,计算其速度、加速度、线变形率εxx,εyy, 求出速度势函数 φ. 解 因Vx  1 yx Vy  --1 yx dφ  dxdyVxdxVydy yx φdφ  dxdyVxdxVydydx-1dyx-y yx  xx  ax v v x, yy  y xy dVxVxVxVx VxVy 0； dttxy dVyVyVyVy VxVy 0 dttxy 22 ay 6-7 已知平面流动流函数ψx -y ,计算其速度、加速度,求出速度势函数φ. 解 因Vx  -2y yx  --2x yx  dxdyVxdxVydy yx  dxdyVxdxVydy-2ydx-2xdy-2xy yx Vy dφ φ  dφ ax dVxVxVxVx VxVy 4x dttxy dVyVyVyVy VxVy 4y; dttxy ay 6-8 一平面定常流动的流函数为 x, y   3x  y 试求速度分布，写出通过A（1，0），和 B（2， 3）两点的流线方程. 解vx   31,vy  y x 平 面 上 任 一 点 处 的 速 度 矢 量 大 小 都 为 12 32 2， 与 x 和 正 向 夹 角 都 是 arctan 3 /1  600。 A 点处流函数值为 31 0   3，通过 A 点的流线方程为 3x y   3。同 样可以求解出通过 B 点的流线方程也是 3x y   3。 6-9已 知 流 函 数 ψ V ∞ ycos α -xsin α , 计 算 其 速 度 , 加 速 度 , 角 变 形 率 1 v y v x  xy  yx ,并求速度势函数φ. yx2 解 因Vx  V∞cosα yx  - V∞sisα yx  dxdyVxdxVydy yx Vy dφ φ  dφ  dxdyVxdxVydy V∞cosαdx sisαdy yx V∞ cosαx sisαy ax dVxVxVxVx VxVy 0 dttxy dVyVyVyVy VxVy 0; dttxy 1 v y v x 0 2xy ay  xy  yx 6-10.证明不可压缩无旋流动的势函数是调和函数。 解 不可压缩三维流动的连续性方程为 vxvyvz  0 将关系  vx， vy， vz代入上式得到 xyzxyz    0 x xy yz z 222 或 2  2  2  0 xyz 可见不可压缩有势流动的势函数是一调和函数。 6-11 什么样的平面流动有流函数 答 不可压缩平面流动在满足连续性方程 vxvy  0 xy 或 vx（-vy）  xy 的情况下平面流动有流函数. 6-12什么样的空间流动有势函数 答 在一空间流动中，如果每点处的旋转角速度矢量 x i yjz k 都是零矢量，即 xyz 0， 或关