河道非恒定水流计算

第六章河道非恒定水流计算 第六章河道非恒定水流计算 天然河道水流常被认为是一维流动的，描述河道水流的基本方程为圣维南 方程组，该方程组为双曲线型偏微分方程组，有两类基本的求解方法，一是特征 线法，二是有限差分法。有限差分法随着计算技术的发展和计算机速度的提高， 已广泛应用于非恒定流计算中，以下着重介绍应用有限差分法求解圣维南方程 组。 6.1Preissmann 四点线性隐式差分格式 6.1.1 基本方程 水体中的一维非恒定水流，可以用圣维南方程组来描述，即 ZQ B q(6-1) tx QQ2Zn2Q |Q | ()  gA g 0(6-2) 4/3txAxAR 式中：Q为断面流量(m/s3)；Z为水位(m)；B为水面度(m)；q为单宽旁侧 入流量(m2/s)；A为过水断面面积(m2)；R为水力半径(m)；n为糙率；为动 量校正系数，一般情况下取为 1；g为重力加速度，等于9.8m/s2；x为沿河长的 距离变量(m)；t为时间变量(s)。式(6-1)为连续方程，式(6-2)为动力方程。 6.1.2求解方法 要求出圣维南方程组式(6-1)和(6-2)的解析解，用目前的数学理论是非常困 难的，而只能求其数值解， 其中差分法是最为常用的数值解法。差分格式又可分 为显式和隐式两大类，显式格式的优点是计算简便，缺点是为了满足计算稳定性 和精度的要求，计算时间步长和距离步长之比必须满足 Courant 条件。为此一般 选用隐式格式。 隐式格式虽然是无条件稳定的， 但构造出来的方程需要联立求解。 本文选择 Preissmann 四点线性隐式差分格式来求解上述圣维南方程组。 该法的基 本思想是将圣维南方程组中偏导数前的系数项用时段初已知值来估计， 阻力项进 行线性化处理。由于这样构造出来的差分方程为一线性代数方程组，求解时无需 迭代试算。 差分格式的设置如图 6-1 所示。 采用四点线性隐式差分格式方法对圣维南方 程组进行推导，采用的差分格式为 第六章河道非恒定水流计算 图 6-1Preissmann 格式离散  ( f i j f i j 1 ) jf | M  f i1/2  2  j1j1jjf f i f f i f (i1) (1)(i1)(6-3) x M xx  1  f i j 1  f i j 1  f i j1 f i jf  t M 2t  式中：为权重系数，0  1；f为水流参数，例如水位、流量、水深、 过水断面面积、水面宽等；x为距离步长；t为时间步长；下标表示断面位置， 上标表示时刻。 根据式(6-3)，对连续方程(6-1)，有 j1jj1 Z i j ZZ i1  Z i1  Z i t2t j1j1jjQ i Q i Q 1 Q i1 Q i()  (1) xx i x i 将以上关系式代入连续方程式，得到 jj1j1jjB i Q i Q i j1jj1j 1/21 Q i1 Q i(Z i1  Z i1  Z i  Z i ) ()  (1)()  q i j 1/2 2tx i x i (6-4) 简写为 j1j1j1j1Q i C i Z i  D i (6-5) 1 Q i1 C i Z i 根据式(6-3)，对动量方程，有 第六章河道非恒定水流计算 j1jj1Q i j QQ i1 Q i1 Q i t2t j1j1jjZ i Z i Z 1  Z i1  Z i()  (1) xx i x i j1jj1jjj[(u) i j 1Qi ] (1)[(u) i j 1Qi Q2 1 (u) i Q i1 (u) i Q i ] () (uQ)  xAxx i n2Q |Q |gn2u jj1 gn2u jj1g( 4/3 ) i Q i ( 4/3 ) i1Qi1 4/3AR2R2R 将以上各式代入动力方程式，得到 1j1j1E iQi j1G iQi j   i (6-6) 1  F i Z i1  F i Z i 用N 1个断面可将计算河段长L划分成N个子河段，每个子河段的长度为 xi(i 1,2,,N)，取时间步长为t，则应用Preissmann 四点隐式差分格式，并 令时段初的水力要素作为时段平均水力要素， 就可将式(6-1)和(6-2)离散成差分方 程。对第i(i 1,2,,,N)子河段，为了简写起见，省略上标，该差分方程可写为 Q i Q i1 C i Z i C i Z i1  D i (6-7)  EiQi G iQi1  F i Z i  F i Z i1  i 其中 jB i x C i 1/ 2i  2t  qx(1) j  jD i i1/ 2i(Q i1 Q i j)C i (Z i j Z i1 )   2x i gn x i |u | j  E i (u) i j( 4/3 ) i  2t2R  2x i gn x i |u | j  G i (u) i j( 4/3 ) i1  (6-8) 2t2R  jF i  (gA) i1/ 2  x i 1 j i (Q i jQ i [(uQ) i j 1 (uQ) i j]  1 )  2t  1 jjj  (gA) i1/ 2 (Z i1  Z i )    第六章河道非恒定水流计算 由式(6-8)可知，式(6-7)中的差分系数C i 、D i 、E i 、F i 、G i 、 i 仅与河槽 几何参数、糙率和初始条件有关， 所以它是一个线性代数方程组。对于一条起始 断面序号为L 1 、终止断面序号为L 2 的河段来说(图 6-2)，该河段具有L 2  L 1 1个 断面、L 2  L 1 个子河段，则L 2  L 1 个子河段就可列出包含2(L 2  L 1 1)个未知变 量的2(L 2  L 1 )个方程式，如再加上河道两端的边界条件，就可构成一个闭合的 代数方程组。即 上边界条件Q L1  f 1(ZL1 )  QL 1 Q L11 C L1 Z L1 C L1 Z L11  D L1 E Q G Q F Z F Z L1L11L1L1L1L11  L1L1L1 Q L11 Q L12 C L11ZL11 C L11ZL12  D L11  EL 11QL11 G L11QL12  F L11ZL11  F L11ZL11  L11 (6-9)   