第4讲-二次函数中的特殊角问题

第第 4 4 讲讲二次函数中的特殊角问题二次函数中的特殊角问题 特殊角的认识特殊角的认识 知识总结知识总结 1．什么是特殊角？ 说到特殊角我们很快就能想到比如30°、45°、60°、90°等，事实上，之所以以上角能称为特殊角，关 键在于这些角的三角函数值特殊， 比如为什么我们会将 60°称为特殊角， 而 50°便不是， 原因很简单， 1 cos60 ，而我们并不知道 50°的任一三角函数值． 2 因此角度特殊不在于这个角是多少度， 而在于其三角函数值是否有特殊值， 所以除了常见的30°、 45°、 60°，我们可以扩充一下特殊角的范围． 30° 45° 3 2 sin30°= 1 21 2 tan45°=1 1 3 三边之比为1： 3：2 60° 1 2 2 cos60°= 1 三边之比为1： 3：2 1 三边之比为1：1： 2 α 2 5 tanα= 1 2 3 β β 10 tanβ= 1 3 tan2β= 2β 11 三边之比为1：3： 10 3 4 5 2α 5 α 5 α+β=45°tan2α= 4 3 3 4 三边之比为1：2： 5 α 5 2 β+45° 1 β )=2 tan(β+45° 3 10 )=3 tan(α+45° α+45° 1 2．特殊角在坐标系中的意义 当我们初次接触到平面直角坐标系时， 我们就认识了一、三象限角平分线及二、四象限角平分线，即 直线 y=x 和直线 y= x，在一次函数中我们知道，若两直线平行，则k 相等． 综合以上两点，可得：对于直线y=x+m 或直线 y= x+m，与 x 轴夹角为 45°． y=x+m y=-x+m 45°45° 并且我们还可通过画图与计算得知： y= 3 3 x+m3 3 y=-x+m y= 3x+m 60° y=- 3x+m 30° 30°60° 即“y=kx+b 的 k”与“直线和 x 轴的夹角”存在固定的联系：k  tan（是直线与 x 轴的夹角） ． k0y=kx+b P(x1，y1) Q(x2，y2)α M α k= y1-y2 x1-x2 tanα= k=tanα PM QM = y1-y2 x1-x2 k0 P(x1，y1) α α Q(x2，y2) k= y1-y2 x1-x2 y1-y2 x1-x2 tanα= k=-tanα PM QM =- 3．坐标系中特殊角的处理 在坐标系中构造定角，从其三角函数值着手： 思路 1：构造三垂直相似（或全等） ； 思路 2：通过三角函数值化“角度条件”为“直线k” ． 1 x，点 M（2，1）是直线 AB 上一点， 2 将直线 AB 绕点 M 顺时针旋转 45°得到直线 CD，求 CD 解析式． 【引例】如图，在平面直线坐标系中，直线AB 解析式为y y C 45° M B D x O A 经典例题经典例题 【例 1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x1 的图像分别交 x、y 轴于点 A、B，将直线 AB 绕点 B 顺时针旋转 45°，交 x 轴于点 C，则直线 BC 的函数表达式是_________． y A O B Cx 【例 2】如图，直线y=x3 与坐标轴交于 A、B 两点，抛物线y  交于点 E（8，5） ，且与 x 轴交于 C，D 两点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上有一点 M，当∠MBE=75°时，求点 M 的横坐标． y E 1 2x bxc经过点 B，与直线 y=x3 4 A DOC x B 构造相等角构造相等角 知识总结知识总结 问题：如何得到相等角？ （1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等； （2）角平分线：角平分线分的两个角相等； （3）等腰三角形：等边对等角； （4）全等（相似）三角形：对应角相等； （5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等； （6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 1 2 3 1 2 12 12 平行：1=3，2=3角平分线：1=2等腰三角形：1=2全等三角形：1=2 1 1 2 三角函数：若tan1=tan2，则1=2 2 圆周角定理：1=2 小结：想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因 此在以上 6 种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角． 经典例题经典例题 【例 3】如图，已知抛物线过点A（4，0） ，B（2 ，0） ，C（0，4 ） ． （1）求抛物线的解析式； （2）点 C 和点C 1 关于抛物线的对称轴对称，点 P 在抛物线上，且PAB  CAC 1 ，求点 P 的横坐 标． y BOAx CC1 【例 4】如图，已知抛物线y  ax2bx 5经过 A（5 ，0） ，B（4 ，3 ）两点，与 x 轴的另一个交点 为 C，顶点为 D，连结 CD． （1）求该抛物线的表达式； （2）点 P 为该抛物线上一动点（与点B、C 不重合） ，设点 P 的横坐标为 t．该抛物线上是否存在点 P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由． y AC O P B D x 【例 5】如图，已知点 A（1 ，0） ，B（3，0） ，C（0，1）在抛物线y  ax2bx c上． （1）求抛物线解析式； （2）在 x 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点 Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出 Q 点坐 标；若不存在，说明理由． y C A O B x Q 构造半角、二倍角构造半角、二倍角 知识总结知识总结 关于半角或二倍角的构造： tan15°： tan15°= 1 2 30° 3 2 15° tan75°=2+ 3 1 2+ 3 =2- 3 tan22.5°： 1 1 2 45° 2 22.5° tan22.5°= 1 1+ 2 = 2-1 一般半角三角函数值求法： tanα= a a2+b2 α b a2+b2 α 2 tan α 2 = a b+ a2+b2 a b 一般二倍角函数值求法： α 勾股定理可求二倍角三角函数值 2αα 经典例题经典例题 1 【例 6】如图，在平面直角坐标系中，直线y  x  2与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 2 1 y  x2bx c经过 A、B 两点且与 x 轴的负半轴交于点 C． 2 （1）求该抛物线的解析式； （2）若点 D 为直线 AB 上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC 时，求点 D 的坐标． y B D COA x y B COA x 备用图 【例 7】在平面直角坐标系中，直线y  y  1 x 2与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，二次函数 2 1 2x bxc的图像经过 B，C 两点，且与 x 轴的负半轴交于点 A，动点 D 在直线 BC 下方的二 2 次函数图像上． （1）求二次函数的表达式； （2）如图，过点 D 作 DM⊥BC 于点 M，是否存在点 D，使得△ CDM 中的某个角恰好等于∠ABC 的 2 倍？若存在，直接写出点D 的横坐标；若不存在，请说明理由． y A OB x C D