第4讲-二次函数中的特殊角问题

第第 4 4 讲讲二次函数中的特殊角问题二次函数中的特殊角问题 特殊角的认识特殊角的认识 知识总结知识总结 1．什么是特殊角 说到特殊角我们很快就能想到比如30、45、60、90等，事实上，之所以以上角能称为特殊角，关 键在于这些角的三角函数值特殊， 比如为什么我们会将 60称为特殊角， 而 50便不是， 原因很简单， 1 cos60 ，而我们并不知道 50的任一三角函数值． 2 因此角度特殊不在于这个角是多少度， 而在于其三角函数值是否有特殊值， 所以除了常见的30、 45、 60，我们可以扩充一下特殊角的范围． 30 45 3 2 sin30 1 21 2 tan451 1 3 三边之比为1 32 60 1 2 2 cos60 1 三边之比为1 32 1 三边之比为11 2 α 2 5 tanα 1 2 3 β β 10 tanβ 1 3 tan2β 2β 11 三边之比为13 10 3 4 5 2α 5 α 5 αβ45tan2α 4 3 3 4 三边之比为12 5 α 5 2 β45 1 β 2 tanβ45 3 10 3 tanα45 α45 1 2．特殊角在坐标系中的意义 当我们初次接触到平面直角坐标系时， 我们就认识了一、三象限角平分线及二、四象限角平分线，即 直线 yx 和直线 y x，在一次函数中我们知道，若两直线平行，则k 相等． 综合以上两点，可得对于直线yxm 或直线 y xm，与 x 轴夹角为 45． yxm y-xm 4545 并且我们还可通过画图与计算得知 y 3 3 xm3 3 y-xm y 3xm 60 y- 3xm 30 3060 即“ykxb 的 k”与“直线和 x 轴的夹角”存在固定的联系k  tan（是直线与 x 轴的夹角） ． k0ykxb Px1，y1 Qx2，y2α M α k y1-y2 x1-x2 tanα ktanα PM QM y1-y2 x1-x2 k0 Px1，y1 α α Qx2，y2 k y1-y2 x1-x2 y1-y2 x1-x2 tanα k-tanα PM QM - 3．坐标系中特殊角的处理 在坐标系中构造定角，从其三角函数值着手 思路 1构造三垂直相似（或全等） ； 思路 2通过三角函数值化“角度条件”为“直线k” ． 1 x，点 M（2，1）是直线 AB 上一点， 2 将直线 AB 绕点 M 顺时针旋转 45得到直线 CD，求 CD 解析式． 【引例】如图，在平面直线坐标系中，直线AB 解析式为y y C 45 M B D x O A 经典例题经典例题 【例 1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y2x1 的图像分别交 x、y 轴于点 A、B，将直线 AB 绕点 B 顺时针旋转 45，交 x 轴于点 C，则直线 BC 的函数表达式是_________． y A O B Cx 【例 2】如图，直线yx3 与坐标轴交于 A、B 两点，抛物线y  交于点 E（8，5） ，且与 x 轴交于 C，D 两点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上有一点 M，当∠MBE75时，求点 M 的横坐标． y E 1 2x bxc经过点 B，与直线 yx3 4 A DOC x B 构造相等角构造相等角 知识总结知识总结 问题如何得到相等角 （1）平行两直线平行，同位角、内错角相等； （2）角平分线角平分线分的两个角相等； （3）等腰三角形等边对等角； （4）全等（相似）三角形对应角相等； （5）三角函数若两个角的三角函数值相等，则两角相等； （6）圆周角定理同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 1 2 3 1 2 12 12 平行13，23角平分线12等腰三角形12全等三角形12 1 1 2 三角函数若tan1tan2，则12 2 圆周角定理12 小结想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因 此在以上 6 种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角． 经典例题经典例题 【例 3】如图，已知抛物线过点A（4，0） ，B（2 ，0） ，C（0，4 ） ． （1）求抛物线的解析式； （2）点 C 和点C 1 关于抛物线的对称轴对称，点 P 在抛物线上，且PAB  CAC 1 ，求点 P 的横坐 标． y BOAx CC1 【例 4】如图，已知抛物线y  ax2bx 5经过 A（5 ，0） ，B（4 ，3 ）两点，与 x 轴的另一个交点 为 C，顶点为 D，连结 CD． （1）求该抛物线的表达式； （2）点 P 为该抛物线上一动点（与点B、C 不重合） ，设点 P 的横坐标为 t．该抛物线上是否存在点 P，使得∠PBC∠BCD若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由． y AC O P B D x 【例 5】如图，已知点 A（1 ，0） ，B（3，0） ，C（0，1）在抛物线y  ax2bx c上． （1）求抛物线解析式； （2）在 x 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点 Q，使∠BQC∠BAC若存在，求出 Q 点坐 标；若不存在，说明理由． y C A O B x Q 构造半角、二倍角构造半角、二倍角 知识总结知识总结 关于半角或二倍角的构造 tan15 tan15 1 2 30 3 2 15 tan752 3 1 2 3 2- 3 tan22.5 1 1 2 45 2 22.5 tan22.5 1 1 2 2-1 一般半角三角函数值求法 tanα a a2b2 α b a2b2 α 2 tan α 2 a b a2b2 a b 一般二倍角函数值求法 α 勾股定理可求二倍角三角函数值 2αα 经典例题经典例题 1 【例 6】如图，在平面直角坐标系中，直线y  x  2与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 2 1 y  x2bx c经过 A、B 两点且与 x 轴的负半轴交于点 C． 2 （1）求该抛物线的解析式； （2）若点 D 为直线 AB 上方抛物线上的一个动点，当∠ABD2∠BAC 时，求点 D 的坐标． y B D COA x y B COA x 备用图 【例 7】在平面直角坐标系中，直线y  y  1 x 2与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，二次函数 2 1 2x bxc的图像经过 B，C 两点，且与 x 轴的负半轴交于点 A，动点 D 在直线 BC 下方的二 2 次函数图像上． （1）求二次函数的表达式； （2）如图，过点 D 作 DM⊥BC 于点 M，是否存在点 D，使得△ CDM 中的某个角恰好等于∠ABC 的 2 倍若存在，直接写出点D 的横坐标；若不存在，请说明理由． y A OB x C D