空间向量专题练习答案

空间向量专题练习答案 空间向量专题练习空间向量专题练习 一、填空题一、填空题( (本大题共本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分分) ) 1.平面 α 的法向量为（1，0，-1） ，平面 β 的法向量为（0， -1，1） ，则平面 α 与平面 β 所成二面角的大小为 ______ ． 【答案】 或 【解析】 解： 设平面 α 的法向量为= （1， 0， -1） ， 平面 β 的法向量为= （0， -1，1） ， 则 cos＜，＞==-， ∴＜，＞=． ∵平面 α 与平面 β 所成的角与＜，＞相等或互补， ∴α 与 β 所成的角为或． 故答案为：或． 利用法向量的夹角与二面角的关系即可得出． 本题考查了利用用法向量的夹角求二面角的方法，考查了计算能 力，属于基础题． 2.平面 α 经过三点 A（-1，0，1） ，B（1，1，2） ，C（2，-1， 0） ，则平面 α 的法向量可以是 ______ （写出一个即可） 【答案】 （0，1，-1） 【解析】 解：=（2，1，1） ，=（3，-1，-1） ， 设平面 α 的法向量=（x，y，z） ， 则，令 z=-1，y=1，x=0． ∴=（0，1，-1） ． 故答案为： （0，1，-1） ． 设平面 α 的法向量=（x，y，z） ，则，解出即可． 本题考查了线面垂直与数量积的关系、平面的法向量，属于基础 题． 3.已知=（1，0，2） ，=（2，1，1） ，则平面 ABC 的一个法向 量为 ______ ． 【答案】 （-2，3，1） 【解析】 解：=（1，0，2） ，=（2，1，1） ， 设平面 ABC 的法向量为=（x，y，z） ， 则，即，取 x=-2，则 z=1，y=3． ∴=（-2，3，1） ． 故答案为： （-2，3，1） ． 设平面 ABC 的法向量为=（x，y，z） ，则，解出即可． 本题考查了平面的法向量、线面垂直与数量积的关系，属于基础 题． 高中数学试卷第 2 页，共 7 页 空间向量专题练习答案 4.在三角形 ABCxx，A（1，-2，-1） ，B（0，-3，1） ，C（2， -2，1） ，若向量与平面 ABC 垂直，且||=，则的坐标为 ______ ． 【答案】 （2，-4，-1）或（-2，4，1） 【解析】 解：设平面 ABC 的法向量为=（x，y，z） ， 则=0，且•=0， ∵=（-1，-1，2） ，=（1，0，2） ， ∴， 即， 令 z=1，则 x=-2，y=4， 即=（-2，4，1） ， 若向量与平面 ABC 垂直， ∴向量∥， 设=λ =（-2λ ，4λ ，λ ） ， ∵||=， ∴•|λ |=， 即|λ |=1， 解得 λ =±1， ∴的坐标为（2，-4，-1）或（-2，4，1） ， 故答案为： （2，-4，-1）或（-2，4，1） 根据条件求出平面的法向量，结合向量的 xx 公式即可得到结论． 本题主要考查空间向量坐标的计算，根据直线和平面垂直求出平 面的法向量是解决本题的关键． 二、解答题二、解答题( (本大题共本大题共 3 3 小题，共小题，共 36.036.0 分分) ) 5.如图， 在四棱锥 P-ABCDxx， 底面 ABCD 为菱形， ∠BAD=60°， Q 为 AD 的 xx 点． （1）若 PA=PD，求证：平面 PQB⊥平面 PAD； （2） 点 M 在线段 PCxx， ， 若平面 PAD⊥平面 ABCD， 且 PA=PD=AD=2， 求二面角 M-BQ-C 的大小． 【答案】 解： （1）证明：由题意知：PQ⊥AD，BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q， ∴AD⊥平面 PQB， 又∵AD平面 PAD， ∴平面 PQB⊥平面 PAD． （2）∵PA=PD=AD，Q 为 AD 的 xx 点， ∴PQ⊥AD， ∵平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD=AD， ∴PQ⊥平面 ABCD， 以 Q 这坐标原点，分别以 QA，QB，QP 为 x，y，z 轴， 建立如图所求的空间直角坐标系， 由题意知：Q（0，0，0） ，A（1，0，0） ， P（0，0， ） ，B（0， ，0） ，C（-2， ，0） ∴=（-， ， ） ， 设是平面 MBQ 的一个法向量，则， ， ∴，∴， 又∵平面 BQC 的一个法向量， ∴cos＜＞=， 高中数学试卷第 4 页，共 7 页 空间向量专题练习答案 ∴二面角 M-BQ-C 的大小是 60°． 【解析】 （1） 由题设条件推导出 PQ⊥AD， BQ⊥AD， 从而得到 AD⊥平面 PQB， 由此能够证明平面 PQB⊥平面 PAD． （2）以 Q 这坐标原点，分别以 QA，QB，QP 为 x，y，z 轴，建立 空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C 的大小． 本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解 题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 6.如图， 在四棱锥 P-ABCDxx， 底面 ABCD 是正方形， 侧棱 PD⊥ 底面 ABCD，PD=DC=2，点 E 是 PC 的 xx 点，F 在直线 PAxx． （1）若 EF⊥PA，求的值； （2）求二面角 P-BD-E 的大小． 【答案】 解： （1）∵在四棱锥 P-ABCDxx，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥ 底面 ABCD， ∴以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角 坐标系， ∵PD=DC=2，点 E 是 PC 的 xx 点，F 在直线 PAxx， ∴P（0，0，2） ，A（2，0，0） ，C（0，2，0） ，E（0，1，1） ， 设 F（a，0，c） ， ，则（a，0，c-2）=λ （2，0，-2）=（2λ ，0， -2λ ） ， ∴a=2λ ，c=2-2λ ，F（2λ ，0，2-2λ ） ， =（2λ ，-1，1-2λ ） ，=（2，0，-2） ， ∵EF⊥PA，∴=4λ -2+4λ =0，解得， ∴=． （2）P（0，0，2） ，B（2，2，0） ，D（0，0，0） ，E（0，1，1） ， =（0，0，2） ，=（2，2，0） ，=（0，1，1） ， 设平面 BDP 的法向量=（x，y，z） ， 则，取 x=1，得=（1，-1，0） ， 设平面 BDE 的法向量=（x，y，z） ， 则，取 x=1，得=（1，-1，1） ， 设二面角 P-BD-E 的大小为 θ ， 则 cosθ ===． ∴二面角 P-BD-E 的大小为 arccos． 【解析】 （1）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间 直角坐标系，利用向量法能求出的值． （2）求出平面 BDP 的法向量和设平面 BDE 的法向量，由此能求出 二面角 P-BD-E 的大小． 本题考查线段比值的求法， 考查二面角的大小的求法， 是xx档题， 解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 7.如图所示的几何体是由棱台 ABC-A1B1C1 和棱锥 D-AA1C1C 拼接而成的组合体，其底面四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，且 ∠BAD=60°，BB1⊥平面 ABCD，BB1=2A1B1=2． （Ⅰ）求证：平面 A