概率论与数理统计-中山大学-第三版

第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 1 1．． 从从 0,1,2,,9 十个数字中，十个数字中，先后随机取出两数，先后随机取出两数，写出下列取法中的样本空间：写出下列取法中的样本空间： (1)(1)放回时的样本空间放回时的样本空间  1 (2)(2)不放回时的样本空间不放回时的样本空间 解：解： 00 01 02 09 01 02 03 09 10 11 12 19 10 12 13 19    1  2     90 91 92 99  ， ，(2)(2) 90 91 92 98  (1)(1) 2.2.一个袋内装有４个白球和５个红球，每次从袋内取出一球，直至首次取到红一个袋内装有４个白球和５个红球，每次从袋内取出一球，直至首次取到红 球为止。写出下列两种取法的样本空间：球为止。写出下列两种取法的样本空间：  (1)(1)不放回时的样本空间不放回时的样本空间 1  (2)(2)放回时的样本空间放回时的样本空间 2 ＝{红，白红，白白红，白白白红，白白白白红｝ 解：解：(1)(1) １ n个  2 (2)(2) 3.3.解：解： 3 ＝｛红，白红， ， 白白白红, ｝ ２ 333 A  i1 A i ,B  i1 A i  A,C  i1 A i ,D  i1 AiC A 2 A 3 )(A 1 A 2 A 3 )E  (A 1 A 2 A 3 )(A 1 A2A 3 )(A1 F  (A 1 A 2 A 3 )(A 1 A 2 A 3 )(A 1 A 2 A 3 )(A 1 A 2 A 3 ) 12312 5.5.设样本空间设样本空间  {0,1,2, G  (A A A )(A A A 3 )(A 1 A 2 A 3 ) A A ,9},事件A＝{2,3,4},B={3,4,5},C={4,5,6}，求： ，求： (1)(1) B C) (2)(2) (B AB  AB {2,3,4,5} 解：解：(1)(1) (2)(2) A(B B  A C)  A(BC) A{4,5} {0,1,5,6,7,8,9}{4,5} {0,1,4,5,6,7,8,9} 11.11.小何买了高等数学、高等代数、解析几何、和大学英语四本书放到书架上， 问各册自左向右或自右向左排列恰好是上述次序概率。 21 P  4!12 解：解： 14.14. 设设 n n 个人排成一行，甲与乙是其中的两个人，求这个人排成一行，甲与乙是其中的两个人，求这 n n 个人的任意排列中，个人的任意排列中， 甲与乙之间恰有甲与乙之间恰有 r r 个人的概率。个人的概率。如果如果 n n 个人围成一圈，个人围成一圈，试证明甲与乙之间恰有试证明甲与乙之间恰有 r r 1 个人的概率与个人的概率与 r r 无关，无关， 都是都是n1（在圆排列中，（在圆排列中， 仅考虑从甲到乙的顺时针方向）仅考虑从甲到乙的顺时针方向） 。。 解：(1)基本事件数为 n! ，设甲排在第 i 位，则乙排在第 i+r+1 位， i 1,2,,nr 1，共nr1 中取法，其余 n-2 个位置是 n-2 个人的全排列，有 （n-2）!种，甲乙位置可调换，有种，故有利事件数由乘法原理有 1C （ 2 n-r-1）(n-2)! ，由古典概型的计算公式，得 1C （2(nr 1) 2 n-r-1）(n-2)! P  n!n(n1) 1C 2 (n1)!2 P  n!n 甲乙相邻的概率为： 1C 2 另解１：先固定甲，有n 种，再放置乙，有n-1,基本事件数有 n(n1),有利事件 数为 2(n-r-1).故有 2(nr 1) P  n(n1) 另解 2:先在甲乙之间选出 r 个人，然后将甲乙与这 r 个人看成一个整体与剩下 的 n-r-2 个人作全排列. r2nr1A n A2(nr 1) 22 A nr1P  n!n(n1) (2)环排列：甲乙按顺时针方向排列，中间相隔 r 个人的基本事件数是n 个位 A n 2 置取 2 个人的排列，共有种，而甲的位置选取有 n 种选法，故由古典概型的 计算有 n1 P  2  A n n1 甲乙相邻的情形：设甲乙合一个位置，甲乙可互换，则甲乙相邻有2(n2)!种排 2(n2)!2  (n1)!n1 .列，故 另解：一圈有 n 个位置，甲占一个后，乙还有 n-1 个，与甲相邻的共 2 个,故 2 P  n1(只考虑乙) 15.15.在整数 0-9 中，任取 4 个，能排成一个四位偶数的概率。 43112n  A 10  5040k  A 9 C 4C8 A 8  2296 解：解：，， P   p  k2296  0.46 n5040 16.口袋内有2个伍分,3个贰分,5个壹分的硬币,任取其中5个,求总值超过一角 的概率. 5n  C 10  252 解: 基本事件数为,有利事件数为 23C 2 C 8  56 1)2 个伍分,其他任意,有 122C 2C3 C 5  60 2)1 个伍分,2 个贰分: 131C 2C3 C 5 10 3)1 个伍分,3 个贰分: k5660101 P  n2522 故 17:17:箱中有箱中有  个白球和个白球和  个黑球个黑球, ,从其中任意地接连取出从其中任意地接连取出 k+1(k+1( k 1 ) )球球, , 如果每次取出后不放回如果每次取出后不放回, ,试求最后取出的是白球的概率试求最后取出的是白球的概率. . 解:令 A{第k 1次(最后)取出的是白球} ,则 P(A)= kC1  A +1 k+1A + (+1)! (+k 1)!  (+)!+ (+k 1)!  另解:只考虑第 k+1 次取球的情况,显然每个球都可能排列在第 k+1 个位置,基本 事件数为  ,有利于 A 的基本事件数为  ,故 P(A)    18.一架电梯开始有 6 位乘客并等可能地停于 10 层楼的每一层， 求下列事件的概 率： (1)某一层有两位乘客离开。 (2)没有两位及两位以上乘客在同一层离开。 (3)恰有两位乘客在同一层离开。 (4)至少有两位乘客在同一层离开。 解： C 6 2 (1) 某有 2 位乘客离开，6 个乘客选 2 名有种选法，其余 4 人在其余 9 层下有 94种，故共有： C 6 294 p  106 (2) 没有 2 人或 2 人以上的乘客在同一层离开，即只有一个人在某层离开，从而 6A 10P  610 (3) 恰好有 2 位乘客在同一层离开 6 C C n 10 基本事件数为.考虑有利事件数，“有2位乘客在同一层” 种数为 106， 其余 4 人有以下几种情况 A 9 4 a) 其余 9 层，4 个人单独在某层下，有种。 1C 9 b) 4 人一起在其余 9 层中的某层下，有种。 131C 9C4C8 c) 9 层中的某层下 3 人，其余 8