概率论的基本概念

《概率论与数理统计》内容提要及习题详解第一章 概率论基本概念第 1 页 共 8 页 第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念 【内容提要】【内容提要】 一、随机事件及其运算关系一、随机事件及其运算关系 1 1．随机现象．随机现象 在一定条件下，可能出现不同结果(不可预先确知的)的现象。 2 2．随机试验．随机试验 在一定条件下，对随机现象进行观测或观察的过程。随机试验具有如下特点: ⑴.可以在相同条件下重复进行； ⑵.每次试验的结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果； ⑶.进行试验前不能确定到底会出现哪个结果。 3 3．样本空间．样本空间 对于随机试验，尽管在试验之前不能预知其结果，但其所有可能结果是已知的，我们将 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为其样本空间，用 表示，并称 为样本点。 4 4．随机事件．随机事件 设 是随机试验E的样本空间，而F( )  A A是 的某些子集，且满足: ⑴. F( )； ⑵.AF( ),有A    AF( )； ⑶.A k F( ),k 1,2,.,有 1k  A k F( )。 则称F( )是随机试验E的事件域，而称AF( )为随机事件。 注注: :设A为随机事件，则 ⑴.A发生包含于A中的任一样本点发生； ⑵.必然事件即样本空间 ，而不可能事件即空集 。 5 5．随机事件的运算关系．随机事件的运算关系 设A,B,A k ,k 1,2,., n为随机事件，则 ⑴．事件的包含关系⑴．事件的包含关系: :A B 事件A发生时一定会导致事件B发生  A,有B； ⑵．事件的相等关系⑵．事件的相等关系: :A B  A B 且 B  A A当且仅当B； ⑶．事件的和运算⑶．事件的和运算: :A B    A或B  A B 发生当且仅当A,B中至少发生其一，  1kn A k 存在1 k  n, A k  A k 发生当且仅当A 1,A2 ,., A n 中至少发生其一； 1kn ⑷．事件的积运算⑷．事件的积运算: :A B    A且B  A B 发生当且仅当A,B同时发生，  1kn A k 1 k  n, A k  A k 发生当且仅当A 1,A2 ,., A n 同时发生； 1kn 1kn 积事件还可将省略，直接表示为 A k  A 1 A 2  A n ； ⑸．事件的差运算⑸．事件的差运算: :A B    A但B  (A B)发生当且仅当A发生而B不发生； ⑹．事件的互斥关系⑹．事件的互斥关系: :A与B互斥 AB     A与B不能同时发生； 1  《概率论与数理统计》内容提要及习题详解第一章 概率论基本概念第 2 页 共 8 页 ⑺．事件的对立关系⑺．事件的对立关系: :A与B对立 AB   且A B   ，这时记B  A     A。 若1 i  j  n，有A i A j   ，则称A 1, A2 ,, A n 两两互斥，这时，它们的和事件可表为: 1kn A k A k  A 1  A 2  A n 。 1kn 注注: :事件的运算关系具有如下性质: ⑴．交换律⑴．交换律: :A B  B A, AB  BA； ⑵．结合律⑵．结合律: :(A B)C  A(BC) , (AB)C  A(BC)； ⑶．分配律⑶．分配律: :( 1kn A k ) B (A k  B) , (A k )B (A k B)； 1kn1kn1kn ⑷．德摩根律⑷．德摩根律: :(A 1  A 2   A n )  A 1A2  A n , (A 1A2  A n )  A 1  A 2   A n 。 二、随机事件的频率与概率二、随机事件的频率与概率 1 1．随机事件的频率．随机事件的频率 设在相同条件下，进行了n次试验，事件A发生了m次，则称wn(A)  次试验中事件A发生的频率。事件的频率具有如下性质: ⑴．非负性⑴．非负性: :AF( )，有0 wn(A) 1； ⑵．规范性⑵．规范性: : w n ( )  0, w n ( ) 1； ⑶．单调性⑶．单调性: : 若A B，则wn(B A)  wn(B)wn(A)  0； ⑷．可加性⑷．可加性: : 若A 1, A2 ,, A n 两两互斥，则wn(A 1  A 2  A m )  1km m 为这n n w n (A k )； ⑸．⑸．稳定性稳定性: : 当n时，wn(A)  m n将稳定到某一确定的值P(A)，称这个数P(A)为事件A在 一次试验中发生的概率。事件的概率也具有类似的非负性、规范性、单调性及可加性。 2 2．概率的公理化定义．概率的公理化定义设 是随机试验E的样本空间，而F( )  A A是 的某些子集随机试验  E的事件域，P(A)是定义于事件域F( )上实值函数，且满足以下条件: ⑴．非负性⑴．非负性: :AF( )，有0  P(A) 1； ⑵．规范性⑵．规范性: :P( ) 1； ⑶．⑶． 可列可加性可列可加性: : 对任意可列无穷多个两两互斥的事件A有P( 1,A2 ,.A n ,.， 则称P(A)为事件AF( )的概率。事件的概率有如下性质: ⑴⑴. .不可能事件的概率为零，即不可能事件的概率为零，即P( )  0； ⑵⑵.有限可加性有限可加性: :若A 1,A2 ,., A n 是两两互斥的事件，则P( 1kn 1k A k ) P(A k )。 1k A k ) P(A k )； 1kn ⑶⑶. .单调性单调性: :若A B，则P(B A)  P(B) P(A)  0； ⑷⑷. .对立事件的概率对立事件的概率: :P(A) 1P(A)； 2 《概率论与数理统计》内容提要及习题详解第一章 概率论基本概念第 3 页 共 8 页 ⑸⑸. .加法公式加法公式: :对任意n个事件A 1,A2 ,,A n F( )，有: P(A 1  A 2   A n ) P(A i )P(A i A j ) 1in1i jn1i jkn P(A i A j A k ) (1)nP(A 1A2  A n ). 三、概率的计算三、概率的计算 1 1．古典概率．古典概率 设随机试验E的样本空间 具有如下特点: ⑴．   1,2 ,., n是有限集合，即只包含 n(有限)个互异的样本点； ⑵．试验中每个样本点 k 发生的可能性都相同(k 1,2