概率论的基本概念

概率论与数理统计内容提要及习题详解第一章 概率论基本概念第 1 页 共 8 页 第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念 【内容提要】【内容提要】 一、随机事件及其运算关系一、随机事件及其运算关系 1 1．随机现象．随机现象 在一定条件下，可能出现不同结果不可预先确知的的现象。 2 2．随机试验．随机试验 在一定条件下，对随机现象进行观测或观察的过程。随机试验具有如下特点 ⑴.可以在相同条件下重复进行； ⑵.每次试验的结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果； ⑶.进行试验前不能确定到底会出现哪个结果。 3 3．样本空间．样本空间 对于随机试验，尽管在试验之前不能预知其结果，但其所有可能结果是已知的，我们将 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为其样本空间，用 表示，并称 为样本点。 4 4．随机事件．随机事件 设 是随机试验E的样本空间，而F   A A是 的某些子集，且满足 ⑴. F ； ⑵.AF ,有A    AF ； ⑶.A k F ,k 1,2,.,有 1k  A k F 。 则称F 是随机试验E的事件域，而称AF 为随机事件。 注注 设A为随机事件，则 ⑴.A发生包含于A中的任一样本点发生； ⑵.必然事件即样本空间 ，而不可能事件即空集 。 5 5．随机事件的运算关系．随机事件的运算关系 设A,B,A k ,k 1,2,., n为随机事件，则 ⑴．事件的包含关系⑴．事件的包含关系 A B 事件A发生时一定会导致事件B发生  A,有B； ⑵．事件的相等关系⑵．事件的相等关系 A B  A B 且 B  A A当且仅当B； ⑶．事件的和运算⑶．事件的和运算 A B    A或B  A B 发生当且仅当A,B中至少发生其一，  1kn A k 存在1 k  n, A k  A k 发生当且仅当A 1,A2 ,., A n 中至少发生其一； 1kn ⑷．事件的积运算⑷．事件的积运算 A B    A且B  A B 发生当且仅当A,B同时发生，  1kn A k 1 k  n, A k  A k 发生当且仅当A 1,A2 ,., A n 同时发生； 1kn 1kn 积事件还可将省略，直接表示为 A k  A 1 A 2  A n ； ⑸．事件的差运算⑸．事件的差运算 A B    A但B  A B发生当且仅当A发生而B不发生； ⑹．事件的互斥关系⑹．事件的互斥关系 A与B互斥 AB     A与B不能同时发生； 1  概率论与数理统计内容提要及习题详解第一章 概率论基本概念第 2 页 共 8 页 ⑺．事件的对立关系⑺．事件的对立关系 A与B对立 AB   且A B   ，这时记B  A     A。 若1 i  j  n，有A i A j   ，则称A 1, A2 ,, A n 两两互斥，这时，它们的和事件可表为 1kn A k A k  A 1  A 2  A n 。 1kn 注注 事件的运算关系具有如下性质 ⑴．交换律⑴．交换律 A B  B A, AB  BA； ⑵．结合律⑵．结合律 A BC  ABC , ABC  ABC； ⑶．分配律⑶．分配律 1kn A k  B A k  B , A k B A k B； 1kn1kn1kn ⑷．德摩根律⑷．德摩根律 A 1  A 2   A n  A 1A2  A n , A 1A2  A n  A 1  A 2   A n 。 二、随机事件的频率与概率二、随机事件的频率与概率 1 1．随机事件的频率．随机事件的频率 设在相同条件下，进行了n次试验，事件A发生了m次，则称wnA  次试验中事件A发生的频率。事件的频率具有如下性质 ⑴．非负性⑴．非负性 AF ，有0 wnA 1； ⑵．规范性⑵．规范性 w n    0, w n   1； ⑶．单调性⑶．单调性 若A B，则wnB A  wnBwnA  0； ⑷．可加性⑷．可加性 若A 1, A2 ,, A n 两两互斥，则wnA 1  A 2  A m  1km m 为这n n w n A k ； ⑸．⑸．稳定性稳定性 当n时，wnA  m n将稳定到某一确定的值PA，称这个数PA为事件A在 一次试验中发生的概率。事件的概率也具有类似的非负性、规范性、单调性及可加性。 2 2．概率的公理化定义．概率的公理化定义设 是随机试验E的样本空间，而F   A A是 的某些子集随机试验  E的事件域，PA是定义于事件域F 上实值函数，且满足以下条件 ⑴．非负性⑴．非负性 AF ，有0  PA 1； ⑵．规范性⑵．规范性 P  1； ⑶．⑶． 可列可加性可列可加性 对任意可列无穷多个两两互斥的事件A有P 1,A2 ,.A n ,.， 则称PA为事件AF 的概率。事件的概率有如下性质 ⑴⑴. .不可能事件的概率为零，即不可能事件的概率为零，即P   0； ⑵⑵.有限可加性有限可加性 若A 1,A2 ,., A n 是两两互斥的事件，则P 1kn 1k A k PA k 。 1k A k PA k ； 1kn ⑶⑶. .单调性单调性 若A B，则PB A  PB PA  0； ⑷⑷. .对立事件的概率对立事件的概率 PA 1PA； 2 概率论与数理统计内容提要及习题详解第一章 概率论基本概念第 3 页 共 8 页 ⑸⑸. .加法公式加法公式 对任意n个事件A 1,A2 ,,A n F ，有 PA 1  A 2   A n PA i PA i A j  1in1i jn1i jkn PA i A j A k  1nPA 1A2  A n . 三、概率的计算三、概率的计算 1 1．古典概率．古典概率 设随机试验E的样本空间 具有如下特点 ⑴．   1,2 ,., n是有限集合，即只包含 n有限个互异的样本点； ⑵．试验中每个样本点 k 发生的可能性都相同k 1,2