浅谈三角换元法

龙源期刊网 浅谈三角换元法 作者：管能碧 来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2011 年第 10 期 摘要：本文讨论一种重要的换元法，三角换元法. 首先介绍了常用的三角换元方法，然后 通过实例展示了一些初等数学中的代数问题、几何问题以及部分高等数学中的积分问题转化为 三角问题后，可以简洁、明了地加以解决. 关键词：代数；几何；积分；三角换元法 换元的思想在整个数学中都是很重要的，本文主要是对三角换元法作讨论. 三角换元法多 用于条件不等式的证明或一些函数值的计算，也可用于解决一些几何中的问题.把某些代数问 题或几何问题转化为三角问题，这就是代数问题或几何问题的三角解法，下面举例说明. 当所给条件比较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变 量都用同一个参数表示.如果运用恰当，可沟通三角与代数或几何的联系，将复杂的代数或几 何问题转化为三角问题.根据具体问题，实施的三角代换方法有如下几种： （1）若 x2+y2=a2，则可设 x=acosθ，y=asinθ； （2）若 x2+y2≤1，则可设 x=rcosθ，y=rsinθ（其中 0≤r≤1）. （3）若+=1，则可设 x=acosθ，y=bsinθ. 若-=1，则可设 x=asecθ，y=btanθ. （4）若 x+y+z=xyz，则可设 x=tanA，y=tanB，z=tanC. 使用三角换元时，要注意换元后的变量的取值范围要与原变量的取值范围保持一致. 代数问题的三角解法 将复杂的代数问题转化为三角问题，会使问题变得简单明了. 例 1已知 a2+b2=1，c2+d2=1，求证 ac+bd≤1.