最短路径问题将军饮马问题--教学设计

最短路径问题最短路径问题 ——将军饮马问题及延伸——将军饮马问题及延伸 湖南省永州市双牌县茶林学校湖南省永州市双牌县茶林学校 熊东旭熊东旭 1 1 最短路径问题最短路径问题 教学内容解析：教学内容解析： 本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题， 最短路径问题在现 实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短” “三角形两边之 和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。 本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对 “最 短路径问题” 的课题研究， 让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题， 再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。 教学目标设置：教学目标设置： 1、能利用轴对称解决最短路径问题。 2、在解题过程能总结出解题方法， ，能进行一定的延伸。 3、体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。 教学重点难点：教学重点难点： 重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。 难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。 学情分析：学情分析： 1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数 学意识的思想比较薄弱， 自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引 导。此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体 验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有 待加强。 2、学生已经学习过 “两点之间，线段最短。”以及“垂线段最短”。以及 刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。 2 2 教学条件分析教学条件分析: : 在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同 侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利用 PPT 动画演示，实验验证 了结论的一般性；最后通过逻辑推理证明。 教具准备：直尺、ppt 教学过程：教学过程： 环 节教师活动学生活动设计意图 1.【问题】 ：看到图片，回忆如 1、两点之间，线段最短。 何用学过的数学知识解释这个 2、 两边之和大于第三边。 问题？ 从学生已经学 过 的 知 识 入 手，为进一步 丰富、完善知 识 结 构 做 铺 垫。 2.这样的问题，我们称为“最 短路径”问题。 一 复 习 引 入 二 探 究 新 知 1.探究一： 【故事引入】 ：唐朝诗人李颀在 《古从军行》中写道： “白日登 山望峰火，黄昏饮马傍交河． ” 诗中就隐含着一个有趣的数学 问题，古时候有位将军，每天 从军营回家，都要经过一条笔 直的小河。而将军的马每天要 到河边喝水，那么问题来了， 问题：怎样走才能使总路程最 短呢？ 认真读题，仔细思考。 将实际问题中的“地点” “河”抽象为数学中的 “点” “线” ，把实际问题 抽象线段和最小问题。 从异侧问题入 手， 由简到难， 逐步深入。 3 3 二 探 究 新 知 2.探究二： 【变换情境】 ：后来将军把家搬 到了河的对面，若还是要带马 先到河边喝水，然后再回家， 应该怎样走，才能使总路程最 短呢？ （1） 【转化】 ：你能将实际问题 抽象为数学问题吗？ （2） 【展示】 ： 让学生猜想，并画出图形。 巡视发现学生不同的作法（尽 可能多） ，分别展示各小组的作 法。 给予学生一定的提示。 （3） 【度量】 ：如何才能判断哪 种猜想是正确的呢？（测量一 下）在几何画板中分别度量出 【回答】 ：学生思考并回 答， 如何将实际问题转化 为数学问题。 已知： 直线 L 和同侧两点 A、B 求作：直线 L 上一点 C， 使 C 满足 AC+BC 的值最 小。 学 生 主 动 探 【学生展示】 ： 索，充分发挥 作法 1： 学 生 的 主 动 性。 展 示 多 种 方 法，产生思维 冲突，引发学 生进一步探究 作法 2： ： 的学习欲望。 作法 3： 【学生反思】 ：第 1 种作 法是利用 “垂线段最短” ， 得到 AC 最短，利用“两 4 AC,BC 的长度，并计算 AC+BC。 让学生观察数值如何变化。并 反思各自的作法是否正确。 3.解决问题 【追问】用第 3 种作法的同学， 你们是怎样想到作点 B 关于直 线 L 的对称点的？为什么要作 对称点？ 二 探 究 新 知 点之间线段最短” ，得到 BC 最短，但不能确定 AC+BC 是最短的。 第2种作法只能说明在河 l 上取一点， 到 A、 B 两地 的距离相等，也就是 AC ＝BC。 不能说明 AC+BC 最 短 第 3 种作法应该是正确 的。 如果做点 B关于直线 L的 对称点， 就是把点 B 移到 了另一侧， 而且满足了 BC ＝BC’。 其实直线 L 上所 有点到 B 和 B’的距离都 相等。 也可是根据垂直平分线 的性质， L 就是线段 BB’ 的垂直平分线， 而垂直平 分线上的点到线段两个 端点的距离相等。 利用轴对称将同侧线段 和最短 转化转化为异侧线段 和最短问题。借助轴对 称， 把折线转化为线段的 长来求解。 （4） 【推理论证】：如何证明认真观察，思考，要想确 AC+BC 最短呢？认 AC+BC 最短， 可以在直 线 l 上任取一点 C’（不与 点 C 重合） 【提示】 ：没有比较就不会产生1.独立纠错 大小。通常我们要在直线上任2.兵教兵 另取一点 C＇ （与点 C 不重合） ， 只要证明 AC＇+BC＇ 〉〉AC+BC 即 可。 5 5 让学生进一步 体会做法的正 确性，提高逻 辑思维能力。 让学生在反思 的过程中，体 会轴对称的作 用，感悟转化 思想，丰富数 学活动经验。 让学生进一步 体会作法的正 确性，提高逻 辑思维能力。 通 过 动 画 演 示，从特殊到 一般地验证了 前面的结论。 老师动手操作，验证结论的 正确性。 。 （1） 学生自主证明， 教师纠错。 （2）师生共同分析，学生说明 证明过程，教师版书。 （3）共同完成证明过程。 除了作点 B 关于直线 l 的对称还可以作点 A 关于直线 l发散思维，培 点以外，还有没有别的作法？的对称点。养学生一题多 解的能力。 【问题】 ：我们是如何解决将军 饮马问题的？ 先将实际问题转化为数 学问题。 然后作其中一个 点关于直线 l 的对称点， 连接对称点和另一点与 直线的交点就是满足最 短距离的点的位置。 【问题】 ：如图，已知： P、Q 是△ABC 的边 AB、 AC 上的点， 你能在 BC 上确定一点 R，使△ PQR 的周长最短吗？ 让学生反思刚 才的探究过 程。培养数学 思维，和及时 总结所学的知 识的好习惯。 在具体问题中 实 践 已 有 模 型，固化已有 模型。为进一 步丰富、完善 知识结构做铺 垫。 三 发 散 思 维 四 得 出 结 论 五 变 式 巩 固 6 【问题】 ：如图,一位将军骑马 从驻地 A 出发，先牵马去草地 OM 吃草，再牵马去河边 ON 喝 水， 最后回到驻地 A 问：这位 将军怎样走路程最短？ 【问题】 ：如图，A 为马厩，B 为帐篷，将军某一天要从马厩 牵出马，先到草地边某一处牧 马，再到河边饮马，然后回到 帐篷，请你帮助确定这一天的 最短路线。 1. 【