最短路径问题将军饮马问题--教学设计

最短路径问题最短路径问题 将军饮马问题及延伸将军饮马问题及延伸 湖南省永州市双牌县茶林学校湖南省永州市双牌县茶林学校 熊东旭熊东旭 1 1 最短路径问题最短路径问题 教学内容解析教学内容解析 本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题， 最短路径问题在现 实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短” “三角形两边之 和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。 本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对 “最 短路径问题” 的课题研究， 让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题， 再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。 教学目标设置教学目标设置 1、能利用轴对称解决最短路径问题。 2、在解题过程能总结出解题方法， ，能进行一定的延伸。 3、体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。 教学重点难点教学重点难点 重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。 难点如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。 学情分析学情分析 1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数 学意识的思想比较薄弱， 自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引 导。此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体 验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有 待加强。 2、学生已经学习过 “两点之间，线段最短。”以及“垂线段最短”。以及 刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。 2 2 教学条件分析教学条件分析 在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同 侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利用 PPT 动画演示，实验验证 了结论的一般性；最后通过逻辑推理证明。 教具准备直尺、ppt 教学过程教学过程 环 节教师活动学生活动设计意图 1.【问题】 看到图片，回忆如 1、两点之间，线段最短。 何用学过的数学知识解释这个 2、 两边之和大于第三边。 问题 从学生已经学 过 的 知 识 入 手，为进一步 丰富、完善知 识 结 构 做 铺 垫。 2.这样的问题，我们称为“最 短路径”问题。 一 复 习 引 入 二 探 究 新 知 1.探究一 【故事引入】 唐朝诗人李颀在 古从军行中写道 “白日登 山望峰火，黄昏饮马傍交河． ” 诗中就隐含着一个有趣的数学 问题，古时候有位将军，每天 从军营回家，都要经过一条笔 直的小河。而将军的马每天要 到河边喝水，那么问题来了， 问题怎样走才能使总路程最 短呢 认真读题，仔细思考。 将实际问题中的“地点” “河”抽象为数学中的 “点” “线” ，把实际问题 抽象线段和最小问题。 从异侧问题入 手， 由简到难， 逐步深入。 3 3 二 探 究 新 知 2.探究二 【变换情境】 后来将军把家搬 到了河的对面，若还是要带马 先到河边喝水，然后再回家， 应该怎样走，才能使总路程最 短呢 （1） 【转化】 你能将实际问题 抽象为数学问题吗 （2） 【展示】 让学生猜想，并画出图形。 巡视发现学生不同的作法（尽 可能多） ，分别展示各小组的作 法。 给予学生一定的提示。 （3） 【度量】 如何才能判断哪 种猜想是正确的呢（测量一 下）在几何画板中分别度量出 【回答】 学生思考并回 答， 如何将实际问题转化 为数学问题。 已知 直线 L 和同侧两点 A、B 求作直线 L 上一点 C， 使 C 满足 ACBC 的值最 小。 学 生 主 动 探 【学生展示】 索，充分发挥 作法 1 学 生 的 主 动 性。 展 示 多 种 方 法，产生思维 冲突，引发学 生进一步探究 作法 2 的学习欲望。 作法 3 【学生反思】 第 1 种作 法是利用 “垂线段最短” ， 得到 AC 最短，利用“两 4 AC,BC 的长度，并计算 ACBC。 让学生观察数值如何变化。并 反思各自的作法是否正确。 3.解决问题 【追问】用第 3 种作法的同学， 你们是怎样想到作点 B 关于直 线 L 的对称点的为什么要作 对称点 二 探 究 新 知 点之间线段最短” ，得到 BC 最短，但不能确定 ACBC 是最短的。 第2种作法只能说明在河 l 上取一点， 到 A、 B 两地 的距离相等，也就是 AC ＝BC。 不能说明 ACBC 最 短 第 3 种作法应该是正确 的。 如果做点 B关于直线 L的 对称点， 就是把点 B 移到 了另一侧， 而且满足了 BC ＝BC’。 其实直线 L 上所 有点到 B 和 B’的距离都 相等。 也可是根据垂直平分线 的性质， L 就是线段 BB’ 的垂直平分线， 而垂直平 分线上的点到线段两个 端点的距离相等。 利用轴对称将同侧线段 和最短 转化转化为异侧线段 和最短问题。借助轴对 称， 把折线转化为线段的 长来求解。 （4） 【推理论证】如何证明认真观察，思考，要想确 ACBC 最短呢认 ACBC 最短， 可以在直 线 l 上任取一点 C’（不与 点 C 重合） 【提示】 没有比较就不会产生1.独立纠错 大小。通常我们要在直线上任2.兵教兵 另取一点 C＇ （与点 C 不重合） ， 只要证明 AC＇BC＇ 〉〉ACBC 即 可。 5 5 让学生进一步 体会做法的正 确性，提高逻 辑思维能力。 让学生在反思 的过程中，体 会轴对称的作 用，感悟转化 思想，丰富数 学活动经验。 让学生进一步 体会作法的正 确性，提高逻 辑思维能力。 通 过 动 画 演 示，从特殊到 一般地验证了 前面的结论。 老师动手操作，验证结论的 正确性。 。 （1） 学生自主证明， 教师纠错。 （2）师生共同分析，学生说明 证明过程，教师版书。 （3）共同完成证明过程。 除了作点 B 关于直线 l 的对称还可以作点 A 关于直线 l发散思维，培 点以外，还有没有别的作法的对称点。养学生一题多 解的能力。 【问题】 我们是如何解决将军 饮马问题的 先将实际问题转化为数 学问题。 然后作其中一个 点关于直线 l 的对称点， 连接对称点和另一点与 直线的交点就是满足最 短距离的点的位置。 【问题】 如图，已知 P、Q 是△ABC 的边 AB、 AC 上的点， 你能在 BC 上确定一点 R，使△ PQR 的周长最短吗 让学生反思刚 才的探究过 程。培养数学 思维，和及时 总结所学的知 识的好习惯。 在具体问题中 实 践 已 有 模 型，固化已有 模型。为进一 步丰富、完善 知识结构做铺 垫。 三 发 散 思 维 四 得 出 结 论 五 变 式 巩 固 6 【问题】 如图,一位将军骑马 从驻地 A 出发，先牵马去草地 OM 吃草，再牵马去河边 ON 喝 水， 最后回到驻地 A 问这位 将军怎样走路程最短 【问题】 如图，A 为马厩，B 为帐篷，将军某一天要从马厩 牵出马，先到草地边某一处牧 马，再到河边饮马，然后回到 帐篷，请你帮助确定这一天的 最短路线。 1. 【