最简二次根式与同类二次根式2

最简二次根式与同类二次根式最简二次根式与同类二次根式 2 2 一．解答题（共一．解答题（共 2020 小题）小题） 1．把下列二次根式化成最简二次根式 （1） （2） （3） 2．把下列各式化成最简二次根式： （1）； （2）． 3．把下列各式化成最简二次根式： （1） （2） ； ． ，B=，C=其中 A，B 都是最简二次根式，且4．已知 A=2 A+B=C，分别求出 a 和 x 的值． 5．最简二次根式：如果一个二次根式满足下列两个条件： （1）被开方数不含有能的因数或因式； （2）被开方数中的因数是，字母因式是． 我们把这个二次根式叫最简二次根式， 注： 二次根式的运算结果应化为最简二次 根式． 6． 已知 a、 b 是整数， 如果 的平方根． 7．把下列各式化为最简二次根式 （1） （2） 第1 1页（共1313页） 是最简二次根式， 求的值， 并求 （3） （4）﹣6 （5） （6）． 8．把下列各式化成最简二次根式： （1） （3） （5） ； （2）x2 ； （4） ； （6）． 和是同类二次根式． ； ； 9．若最简二次根式 （1）求 x，y 的值； （2）求的值． 与10．如果最简二次根式 （1）求出 a 的值； 是同类二次根式． （2）若 a≤x≤2a，化简：|x﹣2|+ 11．已知二次根式﹣． ． （1）求使得该二次根式有意义的 x 的取值范围； （2）已知﹣为最简二次根式，且与为同类二次根式，求 x 的值，并求 出这两个二次根式的积． 12．最简二次根式与是同类二次根式，且 x 为整数，求关于 m 的 方程 xm2+2m﹣2=0 的根． 13．若最简二次根式 （1）求 x、y 的值． （2）求 第2 2页（共1313页） 和是同类二次根式． 的值． 14．解决下列问题： 已知二次根式 （1）当 x=3 时，求 （2）若 x 是正数， （3）若 15．最简根式 和 与 的值． 是整数，求 x 的最小值． 是两个最简二次根式，且被开方数相同，求 x 的值． 能是同类根式吗？若能，求出x、y 的 值；若不能，请说明理由． 16．若最简二次根式 17．已知 值． 18．若 a，b 都是正整数，且 a＜b， b，使+= 与是可以合并二次根式，是否存在 a， 与是同类二次根式，求 a 的值． 是同类二次根式，请求出的是最简二次根式，且它与 ？若存在，请求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由． 与是同类二次根式？若存在，19．是否存在实数 m，使最简二次根式 求出 m 的值；若不存在，请说明理由． 20．已知最简二次根式与是同类二次根式，求 x 的值． 第3 3页（共1313页） 最简二次根式与同类二次根式最简二次根式与同类二次根式 2 2 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一．解答题（共一．解答题（共 2020 小题）小题） 1．把下列二次根式化成最简二次根式 （1） （2） （3） 【分析】 （1）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案； （2）直接利用二次根式的性质化简得出答案； （3）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案． 【解答】解： （1）=； （2）=4； （3）==． 【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确化简二次根式是解题关键． 2．把下列各式化成最简二次根式： （1）； （2）． 【分析】本题需先将二次根式分母有理化，分子的被开方数中，能开方的也要移 到根号外． 【解答】解： （1）原式==××==； 第4 4页（共1313页） （2）原式=﹣××=． 【点评】化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大 于 1 的小数化成假分数，把绝对值小于 1 的小数化成分数；被开方数是多项 式的要因式分解；使被开方数不含分母；将被开方数中能开得尽方的因数或 因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号；约分． 3．把下列各式化成最简二次根式： （1） （2） ； ． 【分析】根据二次根式的除法法则计算即可． 【解答】解： （1） （2）=== == ． ； 【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握最简二次根式的概念： （1）被开方 数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 4．已知 A=2，B=，C=其中 A，B 都是最简二次根式，且 A+B=C，分别求出 a 和 x 的值． 【分析】 根据最简二次根式的定义得出关于 a 的方程， 求出 a 的值， 求出 A 和 B， 得出 【解答】解：∵A=2 A+B=C， ∴a+3=3a﹣1， 解得：a=2， ∴A=2 ∴A+B=3 ∵A+B=C， ∴=3 =3，求出方程的解即可． ，B=，A，B 都是最简二次根式，C=， ，B= ， ， ∴20（x+1）=180， 第5 5页（共1313页） ∴x=8． 【点评】 本题考查了最简二次根式定义的应用，能根据最简二次根式的定义得出 关于 a 和 x 的方程是解此题的关键，难度适中． 5．最简二次根式：如果一个二次根式满足下列两个条件： （1）被开方数不含有能化为平方数或平方式的因数或因式； （2）被开方数中的因数是整数，字母因式是整式． 我们把这个二次根式叫最简二次根式，注： 二次根式的运算结果应化为最简二次 根式． 【分析】直接根据最简二次根式的定义进行填空即可． 【解答】解：最简二次根式满足以下两个条件： （1）被开方数不含有能化为平方数或平方式的因数或因式； （2）被开方数中的因数是整数，字母因式是整式； 故答案为：化为平方数或平方式；整数，整式． 【点评】 本题主要考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键是掌握最简二次 根式的定义，此题难度不大． 6． 已知 a、 b 是整数， 如果 的平方根． 【分析】根据最简二次根式的定义得出 a=1，2b﹣5=1，进而求出答案． 【解答】解：∵ ∴a=1，2b﹣5=1， 解得：a=1，b=3， ∴ ∴ ==4， 是最简二次根式， 是最简二次根式， 求的值， 并求 的平方根为±2． 【点评】 本题考查了最简二次根式以及平方根，熟悉最简二次根式的定义是解题 的关键． 7．把下列各式化为最简二次根式 （1） （2） 第6 6页（共1313页） （3） （4）﹣6 （5） （6）． 【分析】根据最简二次根式的定义化简即可． 【解答】解： （1） （2） （3） （4）﹣6 （5） （6）= = == ； =﹣6× = =2 =﹣2 =4； ． ； =6 ； ； 【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根 式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 8．把下列各式化成最简二次根式： （1） （3） （5） ； （2）x2 ； （4） ； （6）． ； ； 【分析】 （1）先将带分数化为分数再开方． （2）直接开方再分母有理化； （3）直接开方即可． （4）将小数化为分数后再开方． （5）通分后再开方． （6）通分后再开方，然后再分母有理化． 第7 7页（共1313页） 【解答】解： （1）原式= （2）原式=x2 （3）原式= =x = ； =a； ； （4）原式= （5）原式= （6）