有限元法进展综述

随着现代科学技术的进展， 人们正在不断建造更为快速的交通工具、 更 大规模的建筑物、 更大跨度的桥梁、 更大功率的发电机组和更为精密的机械设备。 这一切都要求工程师在设计阶段就可以精准地预测出产品和工程的技术性能， 需 要对结构的静、动力强度和温度场、流场、电磁场和渗流等技术参数进行分析计 算。 例如分析计算高层建筑和大跨度桥梁在地震时所受到的影响， 看看是不是会 发生破坏性事故； 分析计算核反映堆的温度场， 肯定传热和冷却系统是不是合理； 分析涡轮机叶片内的流体动力学参数， 以提高其运转效率。 这些都可归结为求解 物理问题的控制偏微分方程式往往是不可能的。 最近几年来在运算机技术和数值 分析方式支持下进展起来的有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）方式则 为解决这些复杂的工程分析计算问题提供了有效的途径。 有限元法是一种高效能、 常常利用的计算方式． 有限元法在初期是以变 分原理为基础进展起来的， 所以它普遍地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描 述的各类物理场中（这种场与泛函的极值问题有着紧密的联系） 。自从 1969 年以 来， 某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法 等一样取得了有限元方程， 因此有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类 物理场中，而再也不要求这种物理场和泛函的极值问题有所联系． 一、有限元法的孕育进程及诞生和进展 有限元法进展综述 大约在 300 年前，牛顿和莱布尼茨发明了积分法，证明了该运算具有整体对 局部的可加性。虽然，积分运算与有限元技术对概念域的划分是不同的，前者进 行无穷划分而后者进行有限划分， 但积分运算为实现有限元技术预备好了一个理 论基础。 在牛顿以后约一百年， 著名数学家高斯提出了加权余值法及线性代数方程组 的解法。 这两项功效的前者被用来将微分方程改写为积分表达式， 后者被用来求 解有限元法所得出的代数方程组。在 18 世纪，另一名数学家拉格郎日提出泛函 分析。泛函分析是将偏微分方程改写为积分表达式的另一途经。 在 19 世纪末及 20 世纪初， 数学家瑞雷和里兹第一提出可对全概念域运用展 开函数来表达其上的未知函数。1915 年，数学家伽辽金提出了选择展开函数中 形函数的伽辽金法，该方式被普遍地用于有限元。1943 年，数学家库朗德第一 次提出了可在概念域内分片地利用展开函数来表达其上的未知函数。 这实际上就 是有限元的做法。 所以，到这时为止，实现有限元技术的第二个理论基础也已确立。 20 世纪 50 年代， 飞机设计师们发觉无法用传统的力学方式分析飞机的应力、 应变等问题。 波音公司的一个技术小组， 第一将持续体的机翼离散为三角形板块 的集合来进行应力分析，通过一番波折后取得前述的两个离散的成功。20 世纪 50 年代，大型电子运算机投入了解算大型代数方程组的工作，这为实现有限元 技术预备好了物质条件。1960 年前后，美国的 R.W.Clough 教授及我国的冯康教 授别离独立地在论文中提出了“有限单元” ，如此的名词。尔后，如此的叫法被 大家同意，有限元技术从此正式诞生。 1990 年 10 月美国波音公司开始在运算机上对新型客机 B－777 进行“无纸 设计” ，仅用了三年半时刻，于 1994 年 4 月第一架 B－777 就试飞成功，这是制 造技术史上划时期的成绩， 其中在结构设计和评判中就大量采用有限元分析这一 手腕。 在有限元分析的进展初期， 由于其大体思想和原理的 “简单” 和 “朴素” ， 以至于许多学术权威都对其学术价值有所鄙视，国际著名刊物 Journal of Applied Mechanics 许连年来都拒绝刊登有关于有限元分析的文章。但是此刻，有限元分 析已经成为数值计算的主流，不但国际上存在如 ANSYS 等数种通用有限元分析 软件，而且涉及到有限元分析的杂志也有几十种之多。 有限元方式与其他求解边值问题近似方式的根本区别在于它的近似性仅限 于相对小的子域中。20 世纪 60 年代初第一次提出结构力学计算有限元概念的克 拉夫 （Clough） 教授形象地将其描画为： “有限元法=Rayleigh Ritz 法＋分片函数” ， 即有限元法是 Rayleigh Ritz 法的一种局部化情形。不同于求解（往往是困难的） 知足整个概念域边界条件的允许函数的 Rayleigh Ritz 法，有限元法将函数概念在 简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数） ， 且不考虑整个概念域的复杂边界条件， 这是有限元法优于其他近似方式的原因之 一。 有限元方式（FEM）的基础是变分原理和加权余量法，其大体求解思想是把 计算域划分为有限个互不重叠的单元， 在每一个单元内， 选择一些适合的节点作 为求解函数的插值点， 将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与 所选用的插值函数组成的线性表达式 ，借助于变分原理或加权余量法，将微分 方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便组成不同的有限元方式。 有限元方式最先应用于结构力学， 后来随着运算机的进展慢慢用于流体力学的数 值模拟。 在有限元方式中， 把计算域离散剖分为有限个互不重叠且彼此连接的单 元， 在每一个单元内选择基函数， 用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解， 整个计算域上整体的基函数能够看为由每一个单元基函数组成的， 则整个计算域 内的解能够看做是由所有单元上的近似解组成。 在河道数值模拟中， 常见的有限 元计算方式是由变分法和加权余量法进展而来的里兹法和伽辽金法、 最小二乘法 等。按照所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方式也分为多种计算格式。 从权函数的选择来讲，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元 网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形 网格，从插值函数的 精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合 一样组成不 同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数 中的基函数； 最小二乘法是令权函数等于余量本身， 而内积的极小值则为对代求 系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域 内选取 N 个配置点。令近似解 在选定的 N 个配置点上严格知足微分方程， 即在配置点上令方程余量为 0。插值 函数一般由不同次幂的多项式组成， 但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积 表示，但最常常利用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要 求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日 (Lagrange)多项式插值；另 一种不仅要求插值多项式本身， 还要求它的导数值在插值点取已知值， 称为哈密 特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对 称和不对称等。 常采用的无因次坐标是一种局部坐标系， 它的概念取决于单元的 几何形状，一维看做长度比，二维看做面积比，三维看做体积比。在二维有限元 中，三角形单元应用的最先，近来四边形等参元的应用也愈来愈广。对于二维三 角形和四边形电源单元， 常采用的插值函数为有 Lagrange 插值直角坐标系中的线 性插值函数及