有限差分法模拟一维二维谐振子

目目 录录 第第 1 1 章章概述概述 . 1 . 1 第第 2 2 章章 有限差分方式有限差分方式. 2. 2 有限差分法大体思想. 2 差分方程组的求解 3 2.2.1 高斯-赛德尔迭代法 3 2.2.2 逐次超松弛法 3 第第 3 3 章章求解谐振子的微分方程求解谐振子的微分方程. 4. 4 一维谐振子 4 二维各向同性谐振子. 6 第第 4 4 章章 总结总结 9 9 参考文献参考文献. . 1010 附录附录. . 1111 附 1 一维线性谐振子的程序设计 11 附基态一维线性谐振子 11 附第一激发态一维线性谐振子 12 附第二激发态一维线性谐振子 13 附 2 二维线性谐振子的程序设计 13 第第 1 1 章章概述概述 微分方程和积分微分方程数值解的方式。 大体思想是把持续的定解区域 用有限个离散点组成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把持续定 解区域上的持续变量的函数用在网格上概念的离散变量函数来近似；把原方 程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方 程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组 就可以够取得原问题在离散点上的近似解。 然后再利用插值方式即能够从离 散解取得定解问题在整个区域上的近似解。 有限差分法可普遍用来求解偏微分方程的近似解， 在电磁场中求解点位函数 的拉普拉斯方程时，可采用有限差分法的大体思想是：用网格将场域进行分割， 再把拉普拉斯方程用以各网格点处的点位作为未知数的差分方程式来进行代换， 将求解拉普拉斯方程解得问题变成求联立差分方程组的解得问题， 在差分网格 超级多和情形下， 利用并行计算方式对其进行区域分解， 每一个进程负责运算一 部份区域， 区域边界之间进行必腹地通信可有效提高计算速度， 解决更大规模的 问题。 往往只讨论它在静态场中的应用， 即泊松方程或拉普拉斯方程的有限差分 形式，很少涉及到它在时谐场（即亥姆霍兹方程）中的应用。本文重点讨论亥姆 霍兹方程的有限差分形式和它在时谐场中的应用。同时，有限差分法（ finite difference ）是基于差分原理的一种数值计算方式，在求解微分方程定 解问题中普遍应用。 有限差分法是以差分原理为基础的一种数值计算法。 它用离 散的函数值组成的差商来近似逼近相应的偏导数， 而所谓的差商则是基于差分的 应用的数值微分表达式。 用离散的只含有有限个未知量的差分方程组去近似代替 持续变量的微分方程和定解条件， 并把差分方程组的姐作为威风方程定解问题的 近似解.有限差分法能够处置几乎所有形式的势函数，且主程序不依赖于势函数 的具体形式，对于多数两字体都能够进行相对准确的计算。因此，将有限差分法 应用于量子力学本征值问题的计算， 有助于相对准确地进行量子体系和形象直观 地教学研究 [2 3] [1] 。 量子力学教程中队一维无穷深势阱、 线性谐振子、 氢原子等量子体系的薛定 谔方程进行了严格的求解， 取得了描述体系状态的波函数和能量的精准解。 多数 量子体系的哈密顿算数比较复杂，薛定谔方程不能严格求解，因此，研究和进展 薛定谔方程的数值计算方式具有重要意义 [4]。 第第 2 2 章章 有限差分方式有限差分方式 有限差分法大体思想有限差分法大体思想 有限差分法是解偏微分方程的主要数值方式之一， 其大体思想是把持续的问 题离散化，即第一对求解区域作网格剖分，用有限个网格节点代替持续区域；第 二将微分算子离散化，从而把微分方程的定解问题化为代数方程组的求解问题， 解方程组就可以够取得原问题在离散点上的近似解。 然后再利用插值方式即能够 从离散解取得定解问题在整个区域上的近似解。 参照文献[5]， 给出有限差分法数 值计算的大体思想： （1）区域的离散或子区域的划分。 （2）插值函数的选择。 （3）方程组的成立。 （4） 方程组的求解。 差分方程组的求解差分方程组的求解 利用有限差分要面临求解的问题。 在实际应用中， 能够采用逐次迭代的迭代 方式求解。这里介绍两种常常利用的迭代方式：高斯赛-德尔迭代法和逐次超松 弛迭代法。 2.2.12.2.1 高斯高斯- -赛德尔迭代法赛德尔迭代法 如图 1-1，采用正方形网格分割场域，那个方式是，先对节点(x i , y j )选取初 (0)值 ij 。其中（ 0）表示0 次近似值；下角标i, j表示节点所在位置，即第i行j列 的交点。再按下式  ij  1  (k1)(k1)(k)(k)2 i ( , k j 1)其中i, j 1,2,(2-1) h i1, ji, j1i1, ji, j1  4  反复迭代(k  0,1)，一直进行到对所有节点知足下列条件为止。 (2-2) 式中，W是预定的最大允许误差。 在高斯-赛德尔迭代中，网格节点一般按“自然顺序”排列，即先“从左到 右” ，再“从上到下”排列，如图 1-1 所示； y y  i ( , k j 1) i ( , k j )W 5 1 6 2 7 3 8 4 x 图 1-1 网格节点排列 2.2.22.2.2 逐次超松弛法逐次超松弛法 将式(2-1)在同一点上相邻两次迭代的差值计为R(n)(i, j)，则可得  ij  1  (k1)(k1)(k)(k)2(k)R(n)(i, j)  i ( , k j 1) i ( , k j )(2-3) h i1, ji, j1i1, ji, j1i, j  4  按式(2-1)迭代理想的收敛情形是所有内点的点位函数的余数为零， 但这是不可实 现的，余数R(n)(i, j)时正时负，时大时小，当网格专门大时，收敛的速度很慢， 这就需要改小网格，但迭代的次数将随之增加。逐次超松弛法就是在高斯 -赛德 尔迭代法中引入了加速收敛因子对其进行校正，即  i ( , k j 1) i ( , k j ) i ( , n j ) (2-4)  i, j(k)   h 4 i, j     2   4   (k1) i1, j (k1) i, j1 (k) i1, j (k) i, j1 其中称为“加速收敛因子” ，是一个供选择的参数，其值在1 2之间，该 方式的快慢与有着明显的关系。实践表明，若是选得好，能够较快的加速迭 代的速度。经验表明正方形场域由正方形网格划分，每边节点数为(p1)时，最 佳的收敛因子为 0，  0  2/1 sin      (2-5)   p  第第 3 3 章章求解谐振子的微分方程求解谐振子的微分方程 一维谐振子一维谐振子 对一维线性谐振子,其能量本证方程为 h2d21 2x2 E(3-1) 22dx2 边界条件 x ,x 0(3-2) 去长度单位为  E ， 能量单位为 2， 引入无量纲参量  ax，a ， 1 ，则式(3-1)化为无量纲形式 2  d d 2   