平面向量文科
启赋教化 三年高考(2014-2016)数学(文)平面对量 平面对量的实际背景及基本概念 1.向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量。 2.数量的概念:只有大小没有方向的量叫做数量。 数量与向量的区分: 数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小. 3. 有向线段:带有方向的线段叫做有向线段。 4. 有向线段的三要素:起点,大小,方向 A(起点) B (终点) a 5.有向线段与向量的区分; (1)相同点:都有大小和方向 (2)不同点:①有向线段有起点,方向和长度,只要起点不同就是不同的有向线段 比如:上面两个有向线段是不同的有向线段。 ②向量只有大小和方向,并且是可以平移的,比如:在①中的两个有向线 段表示相同(等)的向量。 ③向量是用有向线段来表示的,可以认为向量是由多个有向线段连接而成 6.向量的表示方法: ①用有向线段表示; ②用字母a、b(黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段的起点与终点字母:; 7.向量的模:向量的大小(长度)称为向量的模,记作||. 8.零向量、单位向量概念: 长度为零的向量称为零向量,记为:0。长度为1的向量称为单位向量。 9.平行向量定义: ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行.即:0 ∥a。 说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义; (2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c. 10.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明:(1)向量a与b相等,记作a=b;(2)零向量与零向量相等; (3)随意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有 向线段的起点无关. 11.共线向量与平行向量关系: B A O C D E F 平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同始终线上(与有向线段的起点无关) 说明:(1)平行向量是可以在同始终线上的。 (2)共线向量是可以相互平行的。 例1.推断下列说法是否正确,为什么? (1)平行向量是否肯定方向相同? (2)不相等的向量是否肯定不平行? (3)与零向量相等的向量必定是什么向量? (4)与随意向量都平行的向量是什么向量? (5)若两个向量在同始终线上,则这两个向量肯定是什么向量? (6)两个非零向量相等当且仅当什么? (7)共线向量肯定在同始终线上吗? 解析:(1)不是,方向可以相反,可有定义得出。 (2)不是,当两个向量方向相同的时候,只要长度不相等就不是相等向量,但是是平行的。 (3)零向量 (4)零向量 (5)共线向量(平行向量 (6)长度相等且方向相同 (7)不肯定,可以平行。 例2.下列命题正确的是( ) A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线 B.随意两个相等的非零向量的始点与终点是平行四边形的四顶点 C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 解:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确;由于数学中探讨的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同始终线上,而此时就构不成四边形,根本不行能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确;对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假如a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选C. 向量的加法运算及其几何意义 1.向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 2.三角形法则(记忆口诀:“首尾相接,从头指尾”) 3.向量加法的字母公式: 4平行四边形法则 图1 如图1,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 5.平行四边形法则与三角形法则的区分: (1) 平行四边形法则是将两个向量的起点放在一起做出平行四边形,最终和向量的结果的起点 和两个分向量的起点是同一起点。 (2) 三角形法则要求第一个向量终点和其次个向量的起点连接在一起,然后连接第一个向量的起点和其次个向量的终点组成三角形,最终和向量的结果是:由第一个向量的起点指向其次个向量的终点。 6.一般结论 当a,b不共线时,|a+b|<|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边); 当a,b共线且方向相同时,|a+b|=|a|+|b| 当a,b共线且方向相反时,|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b|=|b|-|a|. 一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|. 二.例题讲解 例1、已知正方形ABCD的边长为1, = a, = b, = c,则| a+b+c|等于( ) A.0 B.3 C.2 D.2 . 选D. 例2.化简:(1)+;(2)++;(3)++++. 例3.如图所示,已知矩形ABCD中,||=4,设=a,=b,=c,试求向量a+b+c的模. 解:过D作AC的平行线,交BC的延长线于E, ∴DE∥AC,AD∥BE. ∴四边形ADEC为平行四边形. ∴=,=. 于是a+b+c=++=+==+=2, ∴|a+b+c|=2||=8. 1.推断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由。 ①向量 AB与 CD是共线向量,则A、B、C、D四点必在始终线上; ②单位向量都相等; ③任一向量与它的相反向量不相等; ④一个向量方向不确定当且仅当模为0; ⑤共线的向量,若起点不同,则终点肯定不同。 2.下列说法正确的是( ) A. 平行向量是方向相同的向量 B. 长度相等的向量叫相等向量 C. 零向量的长度为0 D. 共线向量是在同一条直线上的向量 3.若非零向量与共线,则以下说法下确的是( ) A. 与必需在同始终线上 B. 与平行,且方向必需相同` C. 与平行,且方向必需相反 D. 与平行 4、下列命题中正确的是( ) A.单位向量都相等 B.长度相等且方向相反的两个向量不肯定是共线向量