平面向量教案
其次章 平面对量 2.1.1 平面对量的实际背景与基本概念 2.1.2 向量的几何表示 教学目标: 1. 了解向量的实际背景,理解平面对量的概念和向量的几何表示;驾驭向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2. 通过对向量的学习,使学生初步相识现实生活中的向量和数量的本质区分. 3. 通过学生对向量与数量的识别实力的训练,培育学生相识客观事物的数学本质的实力. 教学重点:理解并驾驭向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量. 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区分和联系. 教学思路: A B C D 一、情景设置: 如图,老鼠由A向西北逃跑,猫在B处向东追去,设问:猫能否追到老鼠?(画图) 结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了. 分析:老鼠逃跑的路途AC、猫追逐的路途BD事实上都是有方向、有长短的量. 引言:请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向? 二、新课学习: (一)向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量 (二)请同学阅读课本后回答: 1、数量与向量有何区分? 2、如何表示向量? 3、有向线段和线段有何区分和联系?分别可以表示向量的什么? 4、长度为零的向量叫什么向量?长度为1的向量叫什么向量? 5、满意什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗? 6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系? 7、假如把一组平行向量的起点全部移到一点O,这是它们是不是平行向量?这时各向量的终点之间有什么关系? (三)探究学习 1、数量与向量的区分: 数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小. A(起点) B (终点) a 2.向量的表示方法: ①用有向线段表示; ②用字母a、b:(黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段的起点与终点字母:; ④向量的大小――长度称为向量的模,记作||. 3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度. 向量与有向线段的区分: (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量; (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念: ①长度为0的向量叫零向量,记作0. 0的方向是随意的. 留意0与0的含义与书写区分. ②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量. 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义: ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行. 说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;(2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c。 6、巩固练习:P77 练习1、2、3 习题A 1 2.1.3相等向量和共线向量 1、相等向量定义:长度相等且方向相同的向量叫相等向量。 说明:(1)向量a与b相等,记作a=b;(2)零向量与零向量相等; (3)随意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关. 2、共线向量与平行向量关系: 平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同始终线上(与有向线段的起点无关). 说明:(1)平行向量可以在同始终线上,要区分于两平行线的位置关系;(2)共线向量可以相互平行,要区分于在同始终线上的线段的位置关系. (四)理解和巩固:例1 书本76页例2 例2推断: (1)平行向量是否肯定方向相同?(不肯定) (2)不相等的向量是否肯定不平行?(不肯定) (3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量) (4)与随意向量都平行的向量是什么向量?(零向量) (5)若两个向量在同始终线上,则这两个向量肯定是什么向量?(平行向量) (6)两个非零向量相等的当且仅当什么?(长度相等且方向相同) (7)共线向量肯定在同始终线上吗?(不肯定) 例3 如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与向量、、相等的向量. 变式一:与向量长度相等的向量有多少个?(11个) 变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在) 变式三:与向量共线的向量有哪些?() 课堂练习: 1.推断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由. ①向量与是共线向量,则A、B、C、D四点必在始终线上; ②单位向量都相等;③任一向量与它的相反向量不相等; ④四边形ABCD是平行四边形当且仅当= ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0; ⑥共线的向量,若起点不同,则终点肯定不同. 2.书本77页练习 三、课后作业: 书本77页习题2.1第2、3、5题 第2课时 § 向量的加法运算与其几何意义 教学目标: 1、 驾驭向量的加法运算,并理解其几何意义; 2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量,培育数形结合解决问题的实力; 3、 通过将向量运算与熟识的数的运算进行类比,使学生驾驭向量加法运算的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法; 教学重点:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点:理解向量加法的定义. 教学思路: 一、设置情景: 1、 复习:向量的定义以与有关概念 强调:向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此,我们探讨的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不变更它的方向和大小的前提下,移到任何位置 C A B A B C 2、情景设置: (1)某人从A到B,再从B按原方向到C,则两次的位移和: (2)若上题改为从A到B,再从B按反方向到C,则两次的位移和: A B C (3)某车从A到B,再从B变更方向到C, 则两次的位移和: A B C (4)船速为,水速为,则两速度和: 二、探究探讨: 1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 2、三角形法则(“首尾相接,首尾连”) 如图,已知向量a、b.在平面内任取一点,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,即 a+b,规定:a + 0 = 0 +a a a A B C a+b a+b a a b b a b b a+b a 探究:(1)两相向量的和仍是一个向量; (2)当向量与不共线时,+的方向不同向,且|+|||,则+的方向与相同,且|+|=||-||;若||<||,则+的方向与相同,且|+b|=||-||. (4)“向量平移”(自由向量):使前一个向量的终点为后一个向量