平面向量数量积运算专题(附答案)
平面对量数量积运算 题型一 平面对量数量积的基本运算 例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=λDF.若·=1,则λ的值为________. (2)已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为切点,那么·的最小值为( ) A.-4+ B.-3+ C.-4+2 D.-3+2 变式训练1 (2015·湖北)已知向量⊥,||=3,则·=________. 题型二 利用平面对量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a,b满意|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( ) A. B. C. D.π (2)若平面对量a与平面对量b的夹角等于,|a|=2,|b|=3,则2a-b与a+2b的夹角的余弦值等于( ) A. B.- C. D.- 变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为________. 题型三 利用数量积求向量的模 例3 (1)已知平面对量a和b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为120°,则|2a+b|等于( ) A.2 B.4 C.2 D.6 (2)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为________. 变式训练3 (2015·浙江)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=.若平面对量b满意b·e1=b·e2=1,则|b|=________. 高考题型精练 1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a,∠ABC=60°,则·等于( ) A.-a2 B.-a2 C.a2 D.a2 2.(2014·浙江)记max{x,y}=min{x,y}=设a,b为平面对量,则( ) A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|} B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|} C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2 D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2 3.(2015·湖南)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 4.如图,在等腰直角△ABO中,OA=OB=1,C为AB上靠近点A的四等分点,过C作AB的垂线l,P为垂线上任一点,设=a,=b,=p,则p·(b-a)等于( ) A.- B. C.- D. 5.在平面上,⊥,||=||=1,=+.若||<,则||的取值范围是( ) A.(0,] B.(,] C.(,] D.(,] 6.如图所示,△ABC中,∠ACB=90°且AC=BC=4,点M满意=3,则·等于( ) A.2 B.3 C.4 D.6 7.(2014·安徽)设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4全部可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为( ) A. B. C. D.0 8.(2014·江苏)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,则·的值是________. 9.设非零向量a,b的夹角为θ,记f(a,b)=acos θ-bsin θ.若e1,e2均为单位向量,且e1·e2=,则向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为________. 10.如图,在△ABC中,O为BC中点,若AB=1,AC=3,〈,〉=60°,则||=________. 11.已知向量a=(sin x,),b=(cos x,-1).当a∥b时,求cos2x-sin 2x的值; 12.在△ABC中,AC=10,过顶点C作AB的垂线,垂足为D,AD=5,且满意=. (1)求|-|; (2)存在实数t≥1,使得向量x=+t,y=t+,令k=x·y,求k的最小值. 平面对量数量积运算 题型一 平面对量数量积的基本运算 例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=λDF.若·=1,则λ的值为________. (2)已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为切点,那么·的最小值为( ) A.-4+ B.-3+ C.-4+2 D.-3+2 答案 (1)2 (2)D 解析 (1)如图, ·=(+)·(+)=(+)·(+)=·+·+·+· =2×2×cos 120°+×2×2+×2×2+×2×2×cos 120°=-2++-=-, 又∵·=1, ∴-=1,∴λ=2. (2)方法一 设||=||=x,∠APB=θ, 则tan =, 从而cos θ==. ·=||·||·cos θ =x2·= = =x2+1+-3≥2-3, 当且仅当x2+1=, 即x2=-1时取等号,故·的最小值为2-3. 方法二 设∠APB=θ,0<θ<π, 则||=||=. ·=||||cos θ =()2cos θ =·(1-2sin2) =. 令x=sin2,0