平面向量数量积运算专题(附答案)

平面对量数量积运算 题型一 平面对量数量积的基本运算 例1 12014天津已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若＝1，则λ的值为________. 2已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么的最小值为 A.－4＋ B.－3＋ C.－4＋2 D.－3＋2 变式训练1 2015湖北已知向量⊥，||＝3，则＝________. 题型二 利用平面对量数量积求两向量夹角 例2 12015重庆若非零向量a，b满意|a|＝|b|，且a－b⊥3a＋2b，则a与b的夹角为 A. B. C. D.π 2若平面对量a与平面对量b的夹角等于，|a|＝2，|b|＝3，则2a－b与a＋2b的夹角的余弦值等于 A. B.－ C. D.－ 变式训练2 2014课标全国Ⅰ已知A，B，C为圆O上的三点，若＝＋，则与的夹角为________. 题型三 利用数量积求向量的模 例3 1已知平面对量a和b，|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为120，则|2a＋b|等于 A.2 B.4 C.2 D.6 2已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________. 变式训练3 2015浙江已知e1，e2是平面单位向量，且e1e2＝.若平面对量b满意be1＝be2＝1，则|b|＝________. 高考题型精练 1.2015山东已知菱形ABCD 的边长为a，∠ABC＝60，则等于 A.－a2 B.－a2 C.a2 D.a2 2.2014浙江记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面对量，则 A.min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|} B.min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|} C.max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2 D.max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2 3.2015湖南已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为2,0，则|＋＋|的最大值为 A.6 B.7 C.8 D.9 4.如图，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，设＝a，＝b，＝p，则pb－a等于 A.－ B. C.－ D. 5.在平面上，⊥，||＝||＝1，＝＋.若||，则||的取值范围是 A.0，] B.，] C.，] D.，] 6.如图所示，△ABC中，∠ACB＝90且AC＝BC＝4，点M满意＝3，则等于 A.2 B.3 C.4 D.6 7.2014安徽设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成.若x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4全部可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为 A. B. C. D.0 8.2014江苏如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，＝2，则的值是________. 9.设非零向量a，b的夹角为θ，记fa，b＝acos θ－bsin θ.若e1，e2均为单位向量，且e1e2＝，则向量fe1，e2与fe2，－e1的夹角为________. 10.如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，〈，〉＝60，则||＝________. 11.已知向量a＝sin x，，b＝cos x，－1.当a∥b时，求cos2x－sin 2x的值； 12.在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满意＝. 1求|－|； 2存在实数t≥1，使得向量x＝＋t，y＝t＋，令k＝xy，求k的最小值. 平面对量数量积运算 题型一 平面对量数量积的基本运算 例1 12014天津已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若＝1，则λ的值为________. 2已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么的最小值为 A.－4＋ B.－3＋ C.－4＋2 D.－3＋2 答案 12 2D 解析 1如图， ＝＋＋＝＋＋＝＋＋＋ ＝22cos 120＋22＋22＋22cos 120＝－2＋＋－＝－， 又∵＝1， ∴－＝1，∴λ＝2. 2方法一 设||＝||＝x，∠APB＝θ， 则tan ＝， 从而cos θ＝＝. ＝||||cos θ ＝x2＝ ＝ ＝x2＋1＋－3≥2－3， 当且仅当x2＋1＝， 即x2＝－1时取等号，故的最小值为2－3. 方法二 设∠APB＝θ，0θπ， 则||＝||＝. ＝||||cos θ ＝2cos θ ＝1－2sin2 ＝. 令x＝sin2，0 x≤1， 则＝ ＝2x＋－3≥2－3， 当且仅当2x＝，即x＝时取等号. 故的最小值为2－3. 方法三 以O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy， 则圆O的方程为x2＋y2＝1， 设Ax1，y1，Bx1，－y1，Px0,0， 则＝x1－x0，y1x1－x0，－y1＝x－2x1x0＋x－y. 由OA⊥PA⇒＝x1，y1x1－x0，y1＝0 ⇒x－x1x0＋y＝0， 又x＋y＝1， 所以x1x0＝1. 从而＝x－2x1x0＋x－y ＝x－2＋x－1－x ＝2x＋x－3≥2－3. 故的最小值为2－3. 点评 1平面对量数量积的运算有两种形式一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，详细应用哪种形式由已知条件的特征来选择.留意两向量a，b的数量积ab与代数中a，b的乘积写法不同，不应当漏掉其中的“”. 2向量的数量积运算须要留意的问题ab＝0时得不到a＝0或b＝0，依据平面对量数量积的性质有|a|2＝a2，但|ab|≤|a||b|. 变式训练1 2015湖北已知向量⊥，||＝3，则＝________. 答案 9 解析 因为⊥，所以＝0.所以＝＋＝2＋＝||2＋0＝32＝9. 题型二 利用平面对量数量积求两向量夹角 例2 12015重庆若非零向量