平面向量文科

启赋教化 三年高考（2014-2016）数学（文）平面对量 平面对量的实际背景及基本概念 1.向量的概念我们把既有大小又有方向的量叫向量。 2.数量的概念只有大小没有方向的量叫做数量。 数量与向量的区分 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 3. 有向线段带有方向的线段叫做有向线段。 4. 有向线段的三要素起点，大小，方向 A起点 B （终点） a 5.有向线段与向量的区分； （1）相同点都有大小和方向 （2）不同点①有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段 比如上面两个有向线段是不同的有向线段。 ②向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如在①中的两个有向线 段表示相同（等）的向量。 ③向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成 6.向量的表示方法 ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母； 7.向量的模向量的大小（长度）称为向量的模，记作||. 8.零向量、单位向量概念 长度为零的向量称为零向量，记为0。长度为1的向量称为单位向量。 9.平行向量定义 ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.即0 ∥ａ。 说明（1）综合①、②才是平行向量的完整定义； （2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 10.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）随意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有 向线段的起点无关. 11.共线向量与平行向量关系 B A O C D E F 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同始终线上（与有向线段的起点无关） 说明（1）平行向量是可以在同始终线上的。 （2）共线向量是可以相互平行的。 例1.推断下列说法是否正确，为什么 （1）平行向量是否肯定方向相同 （2）不相等的向量是否肯定不平行 （3）与零向量相等的向量必定是什么向量 （4）与随意向量都平行的向量是什么向量 （5）若两个向量在同始终线上，则这两个向量肯定是什么向量 （6）两个非零向量相等当且仅当什么 （7）共线向量肯定在同始终线上吗 解析（1）不是，方向可以相反，可有定义得出。 （2）不是，当两个向量方向相同的时候，只要长度不相等就不是相等向量，但是是平行的。 （3）零向量 （4）零向量 （5）共线向量（平行向量 （6）长度相等且方向相同 （7）不肯定，可以平行。 例2.下列命题正确的是（ ） A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线 B.随意两个相等的非零向量的始点与终点是平行四边形的四顶点 C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 解由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中探讨的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同始终线上，而此时就构不成四边形，根本不行能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假如ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C. 向量的加法运算及其几何意义 １．向量的加法求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２．三角形法则（记忆口诀“首尾相接，从头指尾”） 3.向量加法的字母公式 4平行四边形法则 图1 如图1,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 5.平行四边形法则与三角形法则的区分 （1） 平行四边形法则是将两个向量的起点放在一起做出平行四边形，最终和向量的结果的起点 和两个分向量的起点是同一起点。 （2） 三角形法则要求第一个向量终点和其次个向量的起点连接在一起，然后连接第一个向量的起点和其次个向量的终点组成三角形，最终和向量的结果是由第一个向量的起点指向其次个向量的终点。 6.一般结论 当a,b不共线时,|ab||a||b|即三角形两边之和大于第三边; 当a,b共线且方向相同时,|ab||a||b| 当a,b共线且方向相反时,|ab||a|-|b|或|b|-|a|.其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|ab||a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时,|ab||b|-|a|. 一般地,我们有|ab|≤|a||b|. 二．例题讲解 例1、已知正方形ABCD的边长为1, a, b, c,则| abc|等于（ ） A．0 B．3 C．2 D．2 . 选D. 例2.化简1;2;3. 例3.如图所示,已知矩形ABCD中,||4,设a,b,c,试求向量abc的模. 解过D作AC的平行线,交BC的延长线于E, ∴DE∥AC,AD∥BE. ∴四边形ADEC为平行四边形. ∴,. 于是abc2, ∴|abc|2||8. 1．推断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由。 ①向量 AB与 CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在始终线上； ②单位向量都相等； ③任一向量与它的相反向量不相等； ④一个向量方向不确定当且仅当模为0； ⑤共线的向量，若起点不同，则终点肯定不同。 2．下列说法正确的是（ ） A. 平行向量是方向相同的向量 B. 长度相等的向量叫相等向量 C. 零向量的长度为0 D. 共线向量是在同一条直线上的向量 3．若非零向量与共线，则以下说法下确的是（ ） A. 与必需在同始终线上 B. 与平行，且方向必需相同 C. 与平行，且方向必需相反 D. 与平行 4、下列命题中正确的是 A.单位向量都相等 B.长度相等且方向相反的两个向量不肯定是共线向量