医学高等数学教学大纲
第八章线性代数初步 [目的要求] 矩阵是将一些元素按一定规律排列的一个数表,这些元素按一定的规律进行运算,它不仅在解线性方 程中占重位地位,而且在医学领域、工农业生产、行政管理、科学研究等各方面显示出越来越多的优越性。 特别是随着计算机的普及和发展,将进一步促进线性代数的广泛应用和发展,本章要求: 1 .了解行列式的概念、性质及计算,会利用行列去求简单的线性方程组的解。 2 .理解矩阵的概念及运算,掌握逆矩阵的简单证明。 3 .会利用初等行变换解简单的线性方程组。 定义D= aU a 2i anl an a2i an2 ain a2n a,m n -k=\ 定理(Laplace) n EaikA.k EakjAkj0/ = i,2,. . D=k=l -k=\ [知识要点与重点内容例题分析选讲] 知识要点与重点1:行列式的计算 基本运算 1. n阶行列式的计算 (1)二阶行列式: “12 (2) 三阶行列式: 。21 “11 。21 。22 “12 “13 a 23 。32 。]]。22。33 +。12。23。31 +。13。32。21。13。22。31。12。21。33。11。32。23 。12. • .ain (3) 〃阶行列式:D = a 2i Q 22• .a2n % a n2• • . a nn D —。1/11 +。12人12*■ “1/1〃 = j=l 其中是行列式。第一行的元素,A”.为元素的代数余子式(j =1, 2,…,n )o (4)将原行列式通过行列式的性质变成三角形行列式。 典型例题: 1.计算行列式 解:D= 1 1 1 1 1 0 0 1 2 3 4 2 1 3 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 的值 1 1 1111 3 4 ⑴行*(-l) +⑵行0 12 3 6 10 (1)行 *(-l) + ⑶行 0 2 5 9 10 20 (1)行*(」) +⑷行0 3 9 19 1 1 1 1 3 3 10 3 10 =1 1 2 3 — 2 5 9 3 9 19 ⑴行*(-2) +⑵行 ⑴行*(-3) +⑶行 ae de 2. 计算行列式 -ab ac bd -cd bf cf -ef 解: -ab ac ae bd - cd de bf cf — ef =bee -a a a d — d d f f -f =abedef -1 1 1 1 -1 1 1 1 -1 ⑴列+ (2)列 ⑴列+⑶列 -1 1 1 =^abedef 3. 3.(1)略 (2) 题第n行第n列兀素改成1-n. 1 2 3 .n - 2 n-l n 1 -1 0 .0 0 0 0 2 -2 .0 0 0 0 0 0 .n - 2 2 — n 0 0 0 0 .0 n-l 1-n 依次加下去,最后得 先将n列加到n-l列上, 再将n-1列加到n-2列上 n(n +1) 〃(〃 + 1) . 3n-3 2/z-l n 2 -1 2 0 .0 0 0 0 -2 .0 ••• . 0 0 0 0 .0 2-n 0 0 0 .0 0 1-n n(n + 1) 20 0-00 + 1) =(_i广i(■ + 】)! =(-l)(-2)(-3).(2-n)(l-n)22 知识要点与重点2:矩阵的计算 1. 矩阵的加法和减法运算 运算法则:A + 8 =+ /?.•) (/iJ / mxn A - g =(Q _ 力) 运算律:(1)A + 3 = 3 + A; (2)(A + B)+C = A +(B + C) 2. 矩阵的数乘运算 (九 + /z)A — AA + fjA ; 2,/z = const 运算法则: 加=(刃7 ,2 = const 运算律:(1)(如)A = 4(#4);(2) (3) 2(A + B)- /L4 + AB 3, 矩阵的乘法运算 运算法则:设A = B = (bjj .则规定A与3的乘积是一个m x n 矩阵C = (c〃),其中 \ V /mxn _ s Cij = ai}bXj + aj2b2j + ••• + aisbsj = ^aikbkj (z = 1,2,= 1,2,•■■,??) k=l 并记作C = A3 矩阵乘法的运算律(假定运算是可行的) (1) (A5)C = A(5C) 结合律 (2) A(B + C} = AB + AC (A + B}C = AC + BC分配律 (3) 2(AB) == A(2B) (4) EA = A, BE = B(单位矩阵的意义所在) 注:只有A的列数等于B的行数时,AB才有意义(乘法可行)。 4, 矩阵的转置运算 将矩阵刀的各行变成同序数的列得到的矩阵称为一4的转置矩阵,记为A \ 运算规律 1. (ATy = A2. (A + BY = At + Bt 3. (2A)r = AAt4.(AB)t =BtAt 5. 逆矩阵的概念 设A是〃阶方阵,如果存在〃阶方阵3,使得AB = BA = E,则称矩阵A可逆,并称3是A的逆 矩阵。记为人一「即B = A \ 6. 用伴随矩阵求逆矩阵 矩阵A =为可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异矩阵,并旦当A可逆时,有 A-1 = p-j-A* 其中:A (A AI1 A 2 A” &2 A Cfin J 典型例题: 1. ,1 0 0 0、 3 -1 V ,B = 12 0 0 -2 0 2 (2 1 3 4, ,求 A3 . 设A = 分析根据(注): 只有A的列数等于3的行数时,A3才有意义(乘法可行)。 解根据乘法定义: 同理得 AB = 3xl + (-l)xl + lx2 = 4 % =(3 2. 3. 注:是不可乘。 已知 分析 解一 所以 解二 1 -1、 因为AB = 5) 1 (A5) (A时 已知矩阵人= 分析利用 解因