医学高等数学教学大纲

第八章线性代数初步 ［目的要求］ 矩阵是将一些元素按一定规律排列的一个数表，这些元素按一定的规律进行运算，它不仅在解线性方 程中占重位地位，而且在医学领域、工农业生产、行政管理、科学研究等各方面显示出越来越多的优越性。 特别是随着计算机的普及和发展，将进一步促进线性代数的广泛应用和发展，本章要求 1 .了解行列式的概念、性质及计算，会利用行列去求简单的线性方程组的解。 2 .理解矩阵的概念及运算，掌握逆矩阵的简单证明。 3 .会利用初等行变换解简单的线性方程组。 定义D aU a 2i anl an a2i an2 ain a2n a,m n -k\ 定理Laplace n EaikA.k EakjAkj0/ i，2,. . Dkl -k\ ［知识要点与重点内容例题分析选讲］ 知识要点与重点1行列式的计算 基本运算 1. n阶行列式的计算 1二阶行列式 “12 2 三阶行列式 。21 “11 。21 。22 “12 “13 a 23 。32 。］］。22。33 。12。23。31 。13。32。21。13。22。31。12。21。33。11。32。23 。12. .ain 3 〃阶行列式D a 2i Q 22 .a2n a n2 . a nn D 。1/11 。12人12*■ “1/1〃 jl 其中是行列式。第一行的元素，A”.为元素的代数余子式j 1, 2,，n o 4将原行列式通过行列式的性质变成三角形行列式。 典型例题 1.计算行列式 解D 1 1 1 1 1 0 0 1 2 3 4 2 1 3 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 的值 1 1 1111 3 4 ⑴行*-l ⑵行0 12 3 6 10 1行 *-l ⑶行 0 2 5 9 10 20 1行*」 ⑷行0 3 9 19 1 1 1 1 3 3 10 3 10 1 1 2 3 2 5 9 3 9 19 ⑴行*-2 ⑵行 ⑴行*-3 ⑶行 ae de 2. 计算行列式 -ab ac bd -cd bf cf -ef 解 -ab ac ae bd - cd de bf cf ef bee -a a a d d d f f -f abedef -1 1 1 1 -1 1 1 1 -1 ⑴列 2列 ⑴列⑶列 -1 1 1 abedef 3. 3.1略 2 题第n行第n列兀素改成1-n. 1 2 3 ...n - 2 n-l n 1 -1 0 ...0 0 0 0 2 -2 ...0 0 0 0 0 0 ...n - 2 2 n 0 0 0 0 ...0 n-l 1-n 依次加下去，最后得 先将n列加到n-l列上， 再将n-1列加到n-2列上 nn 1 〃〃 1 ... 3n-3 2/z-l n 2 -1 2 0 ...0 0 0 0 -2 ...0 ... 0 0 0 0 ...0 2-n 0 0 0 ...0 0 1-n nn 1 20 0-00 1 _i广i■ 】 -l-2-3...2-nl-n22 知识要点与重点2矩阵的计算 1. 矩阵的加法和减法运算 运算法则A 8 /.） （/iJ / mxn A - g （Q _ 力） 运算律（1）A 3 3 A; （2）（A B）C A （B C） 2. 矩阵的数乘运算 （九 /z）A AA fjA ； 2,/z const 运算法则 加刃7 ，2 const 运算律1如A 44；2 3 2A B- /L4 AB 3, 矩阵的乘法运算 运算法则设A B bjj .则规定A与3的乘积是一个m x n 矩阵C c〃，其中 \ V /mxn _ s Cij ai}bXj aj2b2j aisbsj aikbkj z 1,2, 1,2,■■, kl 并记作C A3 矩阵乘法的运算律假定运算是可行的 1 A5C A5C 结合律 2 AB C} AB AC A B}C AC BC分配律 3 2AB A2B 4 EA A, BE B单位矩阵的意义所在 注只有A的列数等于B的行数时,AB才有意义乘法可行。 4, 矩阵的转置运算 将矩阵刀的各行变成同序数的列得到的矩阵称为一4的转置矩阵，记为A\ 运算规律 1. ATy A2. A BY At Bt 3. 2Ar AAt4.ABt BtAt 5. 逆矩阵的概念 设A是〃阶方阵，如果存在〃阶方阵3,使得AB BA E,则称矩阵A可逆，并称3是A的逆 矩阵。记为人一「即B A \ 6. 用伴随矩阵求逆矩阵 矩阵A 为可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异矩阵，并旦当A可逆时，有 A-1 p-j-A* 其中A A AI1 A 2 A” 2 A Cfin J 典型例题 1. ,1 0 0 0、 3 -1 V ,B 12 0 0 -2 0 2 2 1 3 4, ,求 A3 . 设A 分析根据（注） 只有A的列数等于3的行数时，A3才有意义（乘法可行）。 解根据乘法定义 同理得 AB 3xl -lxl lx2 4 3 2. 3. 注是不可乘。 已知 分析 解一 所以 解二 1 -1、 1 0、 0 1 ,B J 2； 2 n 7 ,求A3「. A 12 根据转置的定义。 1 -1 0、 -2、 0 1 1 2j 1 2 2 3, J 6 因为AB 5） 1 A5 A时 已知矩阵人 分析利用 解因